दूरी की गणना कैसे करें: 8 चरण (चित्रों के साथ)

दूरी, अक्सर चर को सौंपा घ, दो बिंदुओं के बीच एक सीधी रेखा द्वारा निहित अंतरिक्ष का एक उपाय है. दूरी दो स्थिर बिंदुओं के बीच की जगह का उल्लेख कर सकती है (उदाहरण के लिए, एक व्यक्ति की ऊंचाई उसके या उसके पैरों के नीचे से उसके सिर के ऊपर से दूरी है) या एक चलती की वर्तमान स्थिति के बीच की जगह का उल्लेख कर सकती है वस्तु और इसकी प्रारंभिक स्थान. अधिकांश दूरी की समस्याओं को समीकरणों के साथ हल किया जा सकता है डी = एस_औसत × टी जहां डी दूरी है, एस_औसत औसत गति है, और टी समय है, या उपयोग कर रहा है d = √ (x)₂ - एक्स₁) + (वाई₂ - y₁)), कहाँ (x)₁, y₁) और (एक्स₂, y₂) दो बिंदुओं के एक्स और वाई निर्देशांक हैं.

कदम

2 का विधि 1:

औसत गति और समय के साथ दूरी ढूँढना

1. औसत गति और समय के लिए मूल्य खोजें. जब आप दूरी को खोजने की कोशिश करते हैं तो एक चलती वस्तु ने यात्रा की है, इस गणना को बनाने के लिए जानकारी के दो टुकड़े महत्वपूर्ण हैं: इसकी स्पीड (या वेग परिमाण) और समय यह चल रहा है. इस जानकारी के साथ, वस्तु को सूत्र डी = एस का उपयोग करके यात्रा की गई दूरी को ढूंढना संभव है_औसत × टी.

दूरी सूत्र का उपयोग करने की प्रक्रिया को बेहतर ढंग से समझने के लिए, आइए इस खंड में एक उदाहरण समस्या हल करें. आइए मान लें कि हम 120 मील प्रति घंटे (लगभग 1 9 3 किमी प्रति घंटे) पर सड़क को नीचे कर रहे हैं और हम जानना चाहते हैं कि हम आधे घंटे में कितनी दूर यात्रा करेंगे. का उपयोग करते हुए 120 मील प्रति घंटे औसत गति के लिए हमारे मूल्य के रूप में और 0.पांच घंटे समय के लिए हमारे मूल्य के रूप में, हम इस समस्या को अगले चरण में हल करेंगे.

2. समय के अनुसार औसत गति गुणा करें. एक बार जब आप एक चलती वस्तु की औसत गति को जानते हैं और वह समय यात्रा कर रहा है, जो दूरी की यात्रा की गई दूरी को ढूंढना अपेक्षाकृत सरल है. अपने उत्तर को खोजने के लिए बस इन दो मात्राओं को गुणा करें.

नोट, हालांकि, अगर आपके औसत गति मान में उपयोग की जाने वाली समय की इकाइयां आपके समय के मूल्य में उपयोग की जाती हैं, तो आपको एक या दूसरे को परिवर्तित करने की आवश्यकता होगी ताकि वे संगत हों. उदाहरण के लिए, यदि हमारे पास औसत गति मूल्य है जो प्रति घंटे केएम में मापा जाता है और एक समय मूल्य जो मिनटों में मापा जाता है, तो आपको इसे घंटों तक बदलने के लिए 60 द्वारा समय मूल्य को विभाजित करने की आवश्यकता होगी.

आइए हमारी उदाहरण समस्या हल करें. 120 मील / घंटा × 0.5 घंटे = 60 मील. ध्यान दें कि समय मूल्य में इकाइयाँ (घंटे) रद्द करना औसत गति (घंटे) के denominator में केवल दूरी इकाइयों (मील) छोड़ने के लिए इकाइयों के साथ.

3. अन्य चर के लिए हल करने के लिए समीकरण में हेरफेर करें. मूल दूरी समीकरण की सादगी (डी = एस)_औसत × टी) दूरी के अलावा चर के मूल्यों को खोजने के लिए समीकरण का उपयोग करना काफी आसान बनाता है. मूल नियमों के अनुसार आप जिस चर को हल करना चाहते हैं उसे अलग करें बीजगणित, फिर तीसरे के लिए मूल्य खोजने के लिए अपने अन्य दो चर के लिए मान डालें. दूसरे शब्दों में, अपनी वस्तु की औसत गति को खोजने के लिए, समीकरण का उपयोग करें रों_औसत = डी / टी और उस वस्तु को खोजने के लिए खोजने के लिए, एक वस्तु यात्रा कर रही है, समीकरण का उपयोग करें टी = डी / एस_औसत.

उदाहरण के लिए, मान लें कि हम जानते हैं कि एक कार ने 50 मिनट में 60 मील की दूरी तय की है, लेकिन यात्रा के दौरान हमारे पास औसत गति के लिए कोई मूल्य नहीं है. इस मामले में, हम एस को अलग कर सकते हैं_औसत एस पाने के लिए मूल दूरी समीकरण में चर_औसत = डी / टी, तो 1 का जवाब पाने के लिए बस 60 मील / 50 मिनट विभाजित करें.2 मील / मिनट.

ध्यान दें कि हमारे उदाहरण में, गति के लिए हमारे उत्तर में एक असामान्य इकाइयाँ (मील / मिनट) होती हैं. मील / घंटे के अधिक सामान्य रूप में अपना उत्तर प्राप्त करने के लिए, इसे प्राप्त करने के लिए 60 मिनट / घंटा तक गुणा करें 72 मील / घंटा.

4. ध्यान दें कि "रों_औसत" दूरी सूत्र में चर को संदर्भित करता है औसत स्पीड. यह समझना महत्वपूर्ण है कि मूल दूरी सूत्र किसी वस्तु के आंदोलन का सरलीकृत दृश्य प्रदान करता है. दूरी सूत्र मानता है कि चलती वस्तु है निरंतर गति - दूसरे शब्दों में, यह मानता है कि गति में वस्तु एक एकल, अपरिवर्तनीय दर पर चल रही है. अमूर्त गणित की समस्याओं के लिए, जैसे कि अकादमिक सेटिंग में आपको सामना करना पड़ सकता है, कभी-कभी इस धारणा का उपयोग करके किसी वस्तु की गति को मॉडल करना अभी भी संभव है. वास्तविक जीवन में, हालांकि, यह मॉडल अक्सर चलती वस्तुओं की गति को सटीक रूप से प्रतिबिंबित नहीं करता है, जो वास्तविकता में, गति, धीमा, धीमा, रोकना और समय के साथ उलट सकता है.

उदाहरण के लिए, उपर्युक्त उदाहरण में, हमने निष्कर्ष निकाला कि 50 मिनट में 60 मील की यात्रा करने के लिए, हमें 72 मील / घंटा की यात्रा करने की आवश्यकता होगी. हालांकि, यह केवल सच है अगर पूरी यात्रा के लिए एक गति से यात्रा करें. उदाहरण के लिए, यात्रा के आधे और 64 मील / घंटा के लिए 80 मील / घंटा की यात्रा करके, हम अभी भी 50 मिनट में 60 मील की यात्रा करेंगे - 72 मील / घंटा = 60 मील / 50 मिनट = ?????

कैलकुलस-आधारित समाधान वास्तविक दुनिया की स्थितियों में किसी वस्तु की गति को परिभाषित करने के लिए डेरिवेटिव्स का उपयोग अक्सर दूरी सूत्र की तुलना में बेहतर विकल्प होता है क्योंकि गति में परिवर्तन की संभावना होती है.

2 का विधि 2:

दो बिंदुओं के बीच की दूरी ढूँढना

1. दो बिंदु स्थानिक निर्देशांक खोजें. क्या होगा, उस दूरी को खोजने के बजाय जो एक चलती वस्तु ने यात्रा की है, आपको दो स्थिर वस्तुओं के बीच की दूरी खोजने की आवश्यकता है? इस तरह के मामलों में, ऊपर वर्णित स्पीड-आधारित दूरी सूत्र किसी भी उपयोग का नहीं होगा. सौभाग्य से, दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा की दूरी को आसानी से खोजने के लिए एक अलग दूरी सूत्र का उपयोग किया जा सकता है. हालांकि, इस सूत्र का उपयोग करने के लिए, आपको अपने दो बिंदुओं के निर्देशांक को जानना होगा. यदि आप एक-आयामी दूरी (जैसे कि संख्या रेखा पर) से निपट रहे हैं, तो आपके निर्देशांक दो नंबर होंगे, एक्स₁ और एक्स₂. यदि आप दो आयामों में दूरी से निपट रहे हैं, तो आपको दो (x, y) अंक के लिए मानों की आवश्यकता होगी, (x)₁,y₁) और (एक्स₂,y₂). अंत में, तीन आयामों के लिए, आपको (x) के मूल्यों की आवश्यकता होगी₁,y₁,जेड₁) और (एक्स₂,y₂,जेड₂).

2. दो बिंदुओं के लिए निर्देशांक के मूल्य को घटाकर 1-डी दूरी खोजें. दो बिंदुओं के बीच एक-आयामी दूरी की गणना जब आप जानते हैं कि प्रत्येक के लिए मूल्य एक सिंच है. बस सूत्र का उपयोग करें डी = | एक्स₂ - एक्स₁|. इस सूत्र में, आप x घटाते हैं₁ एक्स से₂, फिर एक्स के बीच की दूरी खोजने के लिए अपने उत्तर का पूर्ण मूल्य लें₁ और x₂. आम तौर पर, आप एक-आयामी दूरी सूत्र का उपयोग करना चाहेंगे जब आपके दो बिंदु संख्या रेखा या अक्ष पर हों.

ध्यान दें कि यह सूत्र पूर्ण मानों का उपयोग करता है ( "| |" प्रतीक). निरपेक्ष मूल्यों का अर्थ यह है कि प्रतीकों के भीतर निहित शर्तें सकारात्मक हो जाती हैं यदि वे नकारात्मक हैं.

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हम राजमार्ग के पूरी तरह से सीधे खिंचाव पर सड़क के किनारे से रुक गए हैं. यदि हमारे पास 5 मील पहले एक छोटा सा शहर है और हमारे पीछे 1 मील 1 मील है, तो दो शहर कितने दूर हैं? अगर हम शहर को एक्स के रूप में सेट करते हैं₁ = 5 और टाउन 2 एक्स के रूप में₁ = -1, हम निम्नानुसार दो शहरों के बीच की दूरी को पा सकते हैं:

डी = | एक्स₂ - एक्स₁|

= | -1 - 5 |

= | -6 | = 6 मील.

3. पाइथागोरियन प्रमेय का उपयोग करके 2-डी दूरी खोजें. दो-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी एक आयाम की तुलना में अधिक जटिल है, लेकिन मुश्किल नहीं है. बस सूत्र का उपयोग करें d = √ (x)₂ - एक्स₁) + (वाई₂ - y₁)). इस सूत्र में, आप दो एक्स निर्देशांक घटाएं, परिणाम को स्क्वायर करें, वाई निर्देशांक घटाएं, परिणाम को स्क्वायर करें, फिर दो इंटरमीडिएट परिणामों को एक साथ जोड़ें और स्क्वायर रूट को अपने दो बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने के लिए लें. यह सूत्र द्वि-आयामी विमान में काम करता है - उदाहरण के लिए, मूल x / y ग्राफ पर.

2-डी दूरी सूत्र का लाभ उठाता है पाइथागोरस प्रमेय, जो यह निर्धारित करता है कि एक दाएं त्रिकोण का हाइपोटेन्यूज अन्य दो पक्षों के वर्गों के वर्गमूल के बराबर है.

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि हमारे पास एक्स-वाई प्लेन में दो अंक हैं: (3, -10) और (11, 7) जो क्रमशः सर्कल और सर्कल पर एक बिंदु का प्रतिनिधित्व करते हैं. इन दो बिंदुओं के बीच सीधी रेखा की दूरी खोजने के लिए, हम निम्नानुसार हल कर सकते हैं:

d = √ (x)₂ - एक्स₁) + (वाई₂ - y₁))

डी = √ ((11 - 3) + (7 - -10))

डी = √ (64 + 28 9)

डी = √ (353) = 18.79

4. 2-डी सूत्र को संशोधित करके 3-डी दूरी खोजें. तीन आयामों में, अंक उनके एक्स और वाई निर्देशांक के अलावा एक z समन्वय होता है. त्रि-आयामी अंतरिक्ष में दो बिंदुओं के बीच की दूरी खोजने के लिए, उपयोग करेंd = √ (x)₂ - एक्स₁) + (वाई₂ - y₁) + (जेड₂ - जेड₁)). यह ऊपर वर्णित दो-आयामी दूरी सूत्र का एक संशोधित रूप है जो z निर्देशांक को खाते में ले जाता है. दो जेड निर्देशांक को घटाकर, उन्हें स्क्वायर करना, और उपरोक्त के रूप में बाकी सूत्र के माध्यम से आगे बढ़ना होगा, यह सुनिश्चित करेगा कि आपका अंतिम उत्तर आपके दो बिंदुओं के बीच त्रि-आयामी दूरी का प्रतिनिधित्व करेगा.

उदाहरण के लिए, मान लें कि हम दो क्षुद्रग्रहों के पास अंतरिक्ष में फ्लोटिंग एक अंतरिक्ष यात्री हैं. हमारे सामने लगभग 8 किलोमीटर दूर है, हमारे लिए 2 किमी, और हमारे नीचे 5 मील दूर है, जबकि दूसरा हमारे पीछे 3 किमी है, अमेरिका के बाईं ओर 3 किमी, और हमारे ऊपर 4 किमी दूर है. यदि हम निर्देशांक (8,2, -5) और (-3, -3,4) के साथ इन क्षुद्रग्रहों की स्थिति का प्रतिनिधित्व करते हैं, तो हम दोनों के बीच की दूरी को निम्नानुसार पा सकते हैं:

डी = √ ((- 3 - 8) + (-3 - 2) + (4 - -5))

डी = √ ((- 11) + (-5) + (9))

डी = √ (121 + 25 + 81)

d = √ (227) =15.07 किमी