दो वैक्टर के बीच कोण कैसे खोजें

छवि 384971 परिचय शीर्षक

गणित में, एक वेक्टर कोई भी वस्तु है जिसमें एक निश्चित लंबाई होती है, जिसे परिमाण, और दिशा के रूप में जाना जाता है. चूंकि वैक्टर मानक लाइनों या आकृतियों के समान नहीं हैं, इसलिए आपको उनके बीच कोणों को खोजने के लिए कुछ विशेष सूत्रों का उपयोग करने की आवश्यकता होगी.

कदम

2 का भाग 1:
दो वैक्टर के बीच कोण ढूँढना
  1. शीर्षक शीर्षक दो वैक्टर चरण 2 के बीच कोण खोजें
1. कोसाइन फॉर्मूला लिखें. कोण को खोजने के लिए दो वैक्टर के बीच, उस कोण की कोसाइन खोजने के लिए सूत्र से शुरू करें. आप नीचे इस सूत्र के बारे में जान सकते हैं, या बस इसे लिख सकते हैं:
cosθ = (यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}} • वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}}) / (||यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}}|| ||वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}}||)
  • ||यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}}|| बोले तो "वेक्टर की लंबाई यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}}."
  • यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}} • वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}} दो वैक्टरों के डीओटी उत्पाद (स्केलर उत्पाद) है, नीचे बताया गया है.
  • शीर्षक वाली छवि दो वैक्टर चरण 1 के बीच कोण खोजें
    2. वैक्टर की पहचान करें. दो वैक्टरों से संबंधित सभी जानकारी लिखें. हम मान लेंगे कि आपके पास अपने आयामी निर्देशांक (भी घटक कहा जाता है) के संदर्भ में केवल वेक्टर की परिभाषा है. यदि आप पहले से ही एक वेक्टर की लंबाई (इसकी परिमाण) को जानते हैं, तो आप नीचे दिए गए कुछ चरणों को छोड़ पाएंगे.
  • उदाहरण: द्वि-आयामी वेक्टर यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}} = (2,2). वेक्टर वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}} = (0,3). इन्हें भी लिखा जा सकता है यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}} = 2मैं + 2जे तथा वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}} = 0मैं + 3जे = 3जे.
  • जबकि हमारा उदाहरण द्वि-आयामी वैक्टर का उपयोग करता है, किसी भी संख्या में घटकों के साथ कवर वैक्टर के नीचे निर्देश.
  • शीर्षक शीर्षक दो वैक्टर चरण 3 के बीच कोण खोजें
    3. प्रत्येक वेक्टर की लंबाई की गणना करें. वेक्टर के एक्स-घटक, इसकी वाई-घटक, और वेक्टर से खींचा गया एक सही त्रिभुज चित्र. वेक्टर त्रिभुज के hypotenuse बनाता है, तो इसकी लंबाई खोजने के लिए हम Pythagorean प्रमेय का उपयोग करते हैं. जैसा कि यह पता चला है, यह सूत्र आसानी से किसी भी तरह के घटकों के साथ वैक्टर तक बढ़ाया जाता है.
  • ||यू|| = यू1 + यू2. यदि एक वेक्टर में दो से अधिक घटक होते हैं, तो बस + यू जोड़ना जारी रखें3 + यू4 + ...
  • इसलिए, एक द्वि-आयामी वेक्टर के लिए, ||यू|| = √ (यू)1 + यू2).
  • हमारे उदाहरण में, ||यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}}|| = √ (2 + 2) = √ (8) = 2√2. ||वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}}|| = √ (0 + 3) = √ (9) = 3.
  • शीर्षक वाली छवि दो वैक्टर चरण 4 के बीच कोण खोजें
    4. दो वैक्टर के डीओटी उत्पाद की गणना करें. आपने शायद पहले से ही वैक्टर को गुणा करने की इस विधि को सीखा है, जिसे भी कहा जाता है अदिश उत्पाद.
    वैक्टर के घटकों के संदर्भ में डीओटी उत्पाद की गणना करने के लिए, प्रत्येक दिशा में घटकों को एक साथ गुणा करें, फिर सभी परिणाम जोड़ें.
    कंप्यूटर ग्राफिक्स प्रोग्राम के लिए, जारी रखने से पहले युक्तियाँ देखें.

    डॉट उत्पाद उदाहरण ढूँढना
    गणितीय शब्दों में, यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}} • वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}} = यू1वी1 + यू2वी2, कहाँ = (यू)1, यू2). यदि आपके वेक्टर में दो से अधिक घटक हैं, तो बस + यू को जोड़ना जारी रखें3वी3 + यू4वी4...
    हमारे उदाहरण में, यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}} • वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}} = यू1वी1 + यू2वी2 = (2) (0) + (2) (3) = 0 + 6 = 6. यह वेक्टर का डीओटी उत्पाद है यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}} तथा वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}}.

  • शीर्षक वाली छवि दो वैक्टर चरण 5 के बीच कोण खोजें
    5. अपने परिणामों को सूत्र में प्लग करें. याद कीजिए,
    cosθ = (यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}} • वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}}) / (||यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}}|| ||वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}} ||).
    अब आप डॉट उत्पाद और प्रत्येक वेक्टर की लंबाई दोनों जानते हैं. कोण के कोसाइन की गणना करने के लिए इन्हें इस सूत्र में दर्ज करें.

    डॉट उत्पाद और वेक्टर की लंबाई के साथ कोसाइन ढूँढना
    हमारे उदाहरण में, कोसो = 6 / (2√2

    3) = 1 / √2 = √2 / 2.

  • शीर्षक वाली छवि दो वैक्टर के बीच कोण खोजें चरण 6
    6. कोसाइन के आधार पर कोण खोजें. आप अपने कैलकुलेटर पर ARCCOS या COS फ़ंक्शन का उपयोग कर सकते हैं
    एक ज्ञात cos θ मान से कोण θ खोजें.
    कुछ परिणामों के लिए, आप के आधार पर कोण को काम करने में सक्षम हो सकते हैं यूनिट सर्कल.

    कोसाइन के साथ एक कोण ढूँढना
    हमारे उदाहरण में, कोस = √2 / 2. दर्ज "आर्कोस (√2 / 2)" कोण प्राप्त करने के लिए अपने कैलकुलेटर में. वैकल्पिक रूप से, यूनिट सर्कल पर कोण θ खोजें जहां कोस = √2 / 2. यह सच है θ = /4 या 45º.
    इसे सब एक साथ रखकर, अंतिम सूत्र है:
    कोण θ = Arccosine ((यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}} • वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}}) / (||यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}}|| ||वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}}||))

    • 2 का भाग 2:
    कोण सूत्र को परिभाषित करना
    1. शीर्षक वाली छवि दो वैक्टर चरण 7 के बीच कोण खोजें
    1. इस सूत्र के उद्देश्य को समझें. यह सूत्र मौजूदा नियमों से प्राप्त नहीं हुआ था. इसके बजाय, यह दो वैक्टर के डॉट उत्पाद और उनके बीच कोण की परिभाषा के रूप में बनाया गया था. हालांकि, यह निर्णय मनमाने ढंग से नहीं था. मूल ज्यामिति को वापस देखने के साथ, हम देख सकते हैं कि यह सूत्र अंतर्ज्ञानी और उपयोगी परिभाषाओं में क्यों परिणाम देता है.
    • नीचे दिए गए उदाहरण द्वि-आयामी वैक्टर का उपयोग करते हैं क्योंकि ये उपयोग करने के लिए सबसे सहज हैं. तीन या अधिक घटकों के साथ वैक्टर के पास बहुत ही समान, सामान्य केस फॉर्मूला के साथ परिभाषित गुण होते हैं.
  • शीर्षक शीर्षक दो वैक्टर चरण 8 के बीच कोण खोजें
    2. कोसाइन के कानून की समीक्षा करें. एक सामान्य त्रिभुज ले लो, ए और बी के बीच ए और बी, और विपरीत साइड सी के बीच. Cosins का कानून बताता है कि c = a + b -2abक्योंकि(θ). यह मूल ज्यामिति से काफी आसानी से प्राप्त किया जाता है.
  • शीर्षक वाली छवि दो वैक्टर चरण 9 के बीच कोण खोजें
    3. एक त्रिभुज बनाने के लिए दो वैक्टर कनेक्ट करें. कागज, वैक्टर पर 2 डी वैक्टर की एक जोड़ी स्केच ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} तथा ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}}, उन्हें के बीच कोण के साथ. त्रिकोण बनाने के लिए उनके बीच एक तीसरा वेक्टर ड्रा करें. दूसरे शब्दों में, वेक्टर ड्रा सी→{ displaystyle { overrightarrow {c}}}{ overrightarrow {c}} ऐसा है कि ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}} + सी→{ displaystyle { overrightarrow {c}}}{ overrightarrow {c}} = ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}}. यह वेक्टर सी→{ displaystyle { overrightarrow {c}}}{ overrightarrow {c}} = ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} - ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}}.
  • शीर्षक शीर्षक दो वैक्टर चरण 10 के बीच कोण खोजें
    4. इस त्रिकोण के लिए कोसाइन का कानून लिखें. हमारी लंबाई डालें "वेक्टर त्रिकोण" कोसाइन के कानून में पक्ष:
  • ||(ए - बी)|| = ||ए|| + ||ख|| - 2||ए|| ||ख||क्योंकि(θ)
  • शीर्षक वाली छवि दो वैक्टर चरण 11 के बीच कोण खोजें
    5. डॉट उत्पादों का उपयोग करके इसे लिखें. याद रखें, एक डॉट उत्पाद एक वेक्टर का आवर्धन दूसरे पर अनुमानित है. अपने साथ एक वेक्टर के डॉट उत्पाद को किसी भी प्रक्षेपण की आवश्यकता नहीं होती है, क्योंकि दिशा में कोई अंतर नहीं है. इस का मतलब है कि ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} • ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} = ||ए||. समीकरण को फिर से लिखने के लिए इस तथ्य का उपयोग करें:
  • (ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} - ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}}) • (ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} - ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}}) = ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} • ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} + ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}} • ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}} - 2||ए|| ||ख||क्योंकि(θ)
  • शीर्षक वाली छवि दो वैक्टर के बीच कोण खोजें चरण 12
    6. इसे परिचित सूत्र में फिर से लिखें. सूत्र के बाईं ओर का विस्तार करें, फिर कोणों को खोजने के लिए उपयोग किए गए सूत्र तक पहुंचने के लिए सरल बनाएं.
  • ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} • ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} - ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} • ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}} - ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}} • ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} + ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}} • ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}} = ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} • ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} + ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}} • ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}} - 2||ए|| ||ख||क्योंकि(θ)
  • - ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} • ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}} - ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}} • ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} = -2||ए|| ||ख||क्योंकि(θ)
  • -2 (ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} • ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}}) = -2||ए|| ||ख||क्योंकि(θ)
  • ए→{ displaysstyle { overrightarrow {a}}}{ overrightarrow {a}} • ख→{ displaysstyle { overrightarrow {b}}}{ overrightarrow {b}} = ||ए|| ||ख||क्योंकि(θ)

    • वीडियो

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    टिप्स

    एक त्वरित प्लग और हल करने के लिए, द्वि-आयामी वैक्टर की किसी भी जोड़ी के लिए इस सूत्र का उपयोग करें: कोसो = (यू)1 • वी1 + यू2 • वी2) / (√ (यू)1 • यू2) • √ (वी)1 • वी2)).
  • यदि आप कंप्यूटर ग्राफिक्स प्रोग्राम पर काम कर रहे हैं, तो आप सबसे अधिक संभावना केवल वैक्टर की दिशा की परवाह करते हैं, न कि उनकी लंबाई. समीकरणों को सरल बनाने और अपने कार्यक्रम को गति देने के लिए इन चरणों को लें:
  • प्रत्येक वेक्टर को सामान्य करें तो लंबाई 1 हो जाती है. ऐसा करने के लिए, वेक्टर की लंबाई से वेक्टर के प्रत्येक घटक को विभाजित करें.
  • मूल वैक्टर के बजाय सामान्यीकृत वैक्टर के डीओटी उत्पाद को लें.
  • चूंकि लंबाई बराबर 1, अपने समीकरण से लंबाई शर्तों को छोड़ दें. कोण के लिए आपका अंतिम समीकरण ARCCOS है (यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}} • वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}}).
  • कोसाइन फॉर्मूला के आधार पर, हम जल्दी से यह पता लगा सकते हैं कि कोण तीव्र या उलझन वाला है या नहीं. कोसो के साथ शुरू करें = (यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}} • वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}}) / (||यू→{ displaystyle { overrightarrow {u}}}{ overrightarrow {u}}|| ||वी→{ displaystyle { overrightarrow {v}}}{ overrightarrow {v}}||):
  • बाईं ओर और समीकरण के दाईं ओर एक ही संकेत (सकारात्मक या नकारात्मक) होना चाहिए.
  • चूंकि लंबाई हमेशा सकारात्मक होती है, इसलिए कोसी के पास डॉट उत्पाद के समान संकेत होना चाहिए.
  • इसलिए, यदि डीओटी उत्पाद सकारात्मक है, तो कोस सकारात्मक है. हम यूनिट सर्कल के पहले चतुर्भुज में हैं, θ के साथ < π / 2 या 90º. कोण तीव्र है.
  • यदि DOT उत्पाद नकारात्मक है, तो कोस नकारात्मक है. हम यूनिट सर्कल के दूसरे चतुर्थांश में हैं, π / 2 के साथ < θ ≤ π या 90º < θ ≤ 180º. कोण घबराता है.
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