एक अंकगणितीय अनुक्रम की किसी भी अवधि को खोजने के 4 तरीके

एक अंकगणितीय अनुक्रम संख्याओं की कोई सूची है जो एक निरंतर राशि से, एक से दूसरे तक भिन्न होती है. उदाहरण के लिए, यहां तक कि संख्या की सूची, $0, 2, 4, 6, 8$ $0,2,4,6,8$ ... एक अंकगणितीय अनुक्रम है, क्योंकि सूची में एक संख्या से अंतर तक अंतर हमेशा 2 है. यदि आप जानते हैं कि आप एक अंकगणितीय अनुक्रम के साथ काम कर रहे हैं, तो आपको किसी दिए गए सूची से बहुत अगला शब्द खोजने के लिए कहा जा सकता है. आपको एक अंतर को भरने के लिए भी कहा जा सकता है जहां एक शब्द गायब हो. अंत में, आप जानना चाहेंगे, उदाहरण के लिए, 100 वें शब्द, वास्तव में सभी 100 शर्तों को लिखने के बिना. कुछ सरल कदम आपको इनमें से कोई भी करने में मदद कर सकते हैं.

कदम

4 का विधि 1:

एक अंकगणितीय अनुक्रम में अगली अवधि का पता लगाना

1. अनुक्रम के लिए सामान्य अंतर खोजें. जब आपको संख्याओं की सूची के साथ प्रस्तुत किया जाता है, तो आपको बताया जा सकता है कि सूची एक अंकगणितीय अनुक्रम है, या आपको अपने लिए यह समझने की आवश्यकता हो सकती है. पहला कदम किसी भी मामले में समान है. सूची में पहले दो शब्दों का चयन करें. दूसरे कार्यकाल से पहले शब्द को घटाएं. परिणाम आपके अनुक्रम का सामान्य अंतर है.

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आपके पास सूची है $1, 4, 7, 10, 13$ $1,4,7,10,13$ .... घटाना $4 - 1$ $4-1$ 3 के सामान्य अंतर को खोजने के लिए.
मान लीजिए कि आपके पास उन शर्तों की एक सूची है जो घटती है, जैसे कि $25, 21, 17, 13$ $25,21,17,13$ ... आप अभी भी अंतर को खोजने के लिए दूसरे से पहले शब्द को घटाएं. इस मामले में, जो आपको देता है $21 - 25 = - 4$ $21-25 = -4$ . नकारात्मक परिणाम का अर्थ है कि आपकी सूची घट रही है जैसा कि आप बाएं से दाएं पढ़ते हैं. आपको हमेशा यह जांचना चाहिए कि अंतर का संकेत उस दिशा से मेल खाता है जो संख्याएं चल रही हैं.

शीर्षक एक अंकगणितीय अनुक्रम चरण 2 का कोई भी शब्द खोजें

2. जांचें कि आम अंतर सुसंगत है. केवल पहले दो पदों के लिए सामान्य अंतर ढूँढना यह सुनिश्चित नहीं करता है कि आपकी सूची एक अंकगणितीय अनुक्रम है. आपको यह सुनिश्चित करने की आवश्यकता है कि अंतर पूरी सूची के लिए सुसंगत है. सूची में दो अलग-अलग शब्दों को घटाकर अंतर की जांच करें. यदि परिणाम शब्दों के एक या दो अन्य जोड़े के लिए संगत है, तो आपके पास शायद एक अंकगणितीय अनुक्रम है.

उसी उदाहरण के साथ काम करना,

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ... सूची की दूसरी और तीसरी शर्तें चुनें. घटाना

7 - 4

$7-4$ , और आप पाते हैं कि अंतर अभी भी 3 है. पुष्टि करने के लिए, एक और उदाहरण और घटाना जांचें

13 - 10

$13-10$ , और आप पाते हैं कि अंतर लगातार 3 है. आप निश्चित रूप से सुनिश्चित हो सकते हैं कि आप एक अंकगणितीय अनुक्रम के साथ काम कर रहे हैं.

संख्याओं की एक सूची के लिए पहले कुछ शर्तों के आधार पर अंकगणितीय अनुक्रम दिखाई देने के लिए संभव है, लेकिन उसके बाद विफल. उदाहरण के लिए, सूची पर विचार करें

1, 2, 3, 6, 9

$1,2,3,6,9$ ... पहले और दूसरी शर्तों के बीच का अंतर 1 है, और दूसरे और तीसरे शब्दों के बीच का अंतर भी 1 है. हालांकि, तीसरे और चौथे शब्दों के बीच का अंतर 3 है. क्योंकि अंतर सूची के लिए अंतर आम नहीं है, फिर यह एक अंकगणितीय अनुक्रम नहीं है.

शीर्षक वाली छवि एक अंकगणितीय अनुक्रम चरण 3 की कोई भी अवधि खोजें

3. अंतिम अंक में सामान्य अंतर जोड़ें. सामान्य अंतर को जानने के बाद एक अंकगणितीय अनुक्रम की अगली अवधि का पता लगाना आसान है. बस सूची की अंतिम अवधि में सामान्य अंतर जोड़ें, और आपको अगली संख्या मिल जाएगी.

उदाहरण के लिए, उदाहरण के लिए

1, 4, 7, 10, 13

$1,4,7,10,13$ ..., सूची में अगली संख्या को खोजने के लिए, पिछले दिए गए कार्यकाल में 3 का सामान्य अंतर जोड़ें. जोड़ा जा रहा है

13 + 3

$13 + 3$ 16 में परिणाम, जो अगली अवधि है. जब तक आप चाहें अपनी सूची बनाने के लिए आप 3 जोड़ना जारी रख सकते हैं. उदाहरण के लिए, सूची होगी

1, 4, 7, 10, 13, 16, 1, 22, 25

$1,4,7,10,13,16,19,22,25$ ... आप इसे तब तक कर सकते हैं जब तक आप चाहें.

4 का विधि 2:

एक लापता आंतरिक शब्द ढूँढना

1. सत्यापित करें कि आप एक अंकगणितीय अनुक्रम से शुरू कर रहे हैं. कुछ मामलों में, आपके पास बीच में एक लापता अवधि के साथ संख्याओं की एक सूची हो सकती है. शुरू करें, पहले की तरह, यह जांचकर कि आपकी सूची एक अंकगणितीय अनुक्रम है. किसी भी दो लगातार शर्तों का चयन करें और उनके बीच अंतर खोजें. फिर सूची में दो अन्य शर्तों के खिलाफ इसे जांचें. यदि अंतर समान हैं, तो आप मान सकते हैं कि आप एक अंकगणितीय अनुक्रम के साथ काम कर रहे हैं और आगे बढ़ते हैं.

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आपके पास सूची है $0, 4$ $0,4$ ,___, $12, 16, 20$ $12,16,20$ ... घटाना शुरू करें $4 - 0$ $4-0$ 4 का अंतर खोजने के लिए. इसे दो अन्य शर्तों के खिलाफ जांचें, जैसे कि $16 - 12$ $16-12$ . अंतर फिर से 4 है. आप आगे बढ़ सकते हैं.

एक अंकगणितीय अनुक्रम चरण 5 की किसी भी अवधि का शीर्षक शीर्षक

2. अंतरिक्ष से पहले शब्द में सामान्य अंतर जोड़ें. यह अनुक्रम के अंत में एक शब्द जोड़ने के समान है. उस शब्द को ढूंढें जो तुरंत आपके अनुक्रम में स्थान से पहले. यह "अंतिम" नंबर है जिसे आप जानते हैं. इस शब्द में अपना सामान्य अंतर जोड़ें, उस संख्या को ढूंढने के लिए जो स्थान को भरना चाहिए.

हमारे कामकाज उदाहरण में,

0, 4

$0,4$ ,____,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., अंतरिक्ष से पहले की अवधि 4 है, और इस सूची के लिए हमारा सामान्य अंतर भी 4 है. तो जोड़ें

4 + 4

$4 + 4$ 8 पाने के लिए, जो रिक्त स्थान में संख्या होनी चाहिए.

एक अंकगणितीय अनुक्रम चरण 6 की किसी भी अवधि का शीर्षक शीर्षक

3. अंतरिक्ष के बाद शब्द से सामान्य अंतर को घटाएं. यह सुनिश्चित करने के लिए कि आपके पास सही उत्तर है, दूसरी दिशा से जांचें. एक अंकगणितीय अनुक्रम को दिशा में लगातार जाना चाहिए. यदि आप बाएं से दाएं स्थानांतरित होते हैं और 4 जोड़ते हैं, तो विपरीत दिशा में, दाएं से बाएं से, आप विपरीत और घटते 4 करेंगे.

कामकाजी उदाहरण में,

0, 4

$0,4$ ,___,

12, 16, 20

$12,16,20$ ..., अंतरिक्ष के तुरंत बाद शब्द 12 है. खोजने के लिए इस शब्द से 4 के सामान्य अंतर को घटाएं

12 - 4 = 8

$12-4 = 8$ . 8 का परिणाम रिक्त स्थान में भरना चाहिए.

एक अंकगणितीय अनुक्रम चरण 7 का शीर्षक शीर्षक शीर्षक

4. अपने परिणामों की तुलना करें. आपके द्वारा प्राप्त किए जाने वाले दो परिणाम, नीचे से जोड़ने या शीर्ष से नीचे घटाने से मेल खाना चाहिए. यदि वे करते हैं, तो आपको लापता अवधि के लिए मूल्य मिला है. यदि वे नहीं करते हैं, तो आपको अपने काम की जांच करने की आवश्यकता है. आपके पास एक वास्तविक अंकगणितीय अनुक्रम नहीं हो सकता है.

कामकाजी उदाहरण में, के दो परिणाम

4 + 4

$4 + 4$ तथा

12 - 4

$12-4$ दोनों ने 8 का समाधान दिया. इसलिए, इस अंकगणितीय अनुक्रम में लापता शब्द 8 है. पूर्ण अनुक्रम है

0, 4, 8, 12, 16, 20

$0,4,8,12,16,20$ ...

विधि 3 में से 4:

एक अंकगणितीय अनुक्रम की nth शब्द ढूँढना

1. अनुक्रम की पहली अवधि की पहचान करें. संख्या 0 या 1 के साथ हर अनुक्रम नहीं शुरू होता है. आपके पास मौजूद संख्याओं की सूची देखें और पहली अवधि का पता लगाएं. यह आपका प्रारंभिक बिंदु है, जिसे (1) के रूप में चर का उपयोग करके नामित किया जा सकता है.

अनुक्रम की पहली अवधि को नामित करने के लिए चर (1) का उपयोग करने के लिए अंकगणितीय अनुक्रमों के साथ काम करना आम है. आप निश्चित रूप से, किसी भी चर को पसंद कर सकते हैं, और परिणाम समान होना चाहिए.
उदाहरण के लिए, अनुक्रम दिया गया $3, 8, 13, 18$ $3,8,13,18$ ..., पहली अवधि है $3$ $3$ , जिसे एक (1) के रूप में बीजगणितीय रूप से नामित किया जा सकता है.

शीर्षक वाली छवि एक अंकगणितीय अनुक्रम चरण 9 की किसी भी अवधि का पता लगाएं

2. डी के रूप में अपने सामान्य अंतर को परिभाषित करें. पहले के रूप में अनुक्रम के लिए सामान्य अंतर खोजें. इस कामकाजी उदाहरण में, आम अंतर है

8 - 3

$8-3$ , जो 5 है. अनुक्रम में अन्य शर्तों के साथ जाँच एक ही परिणाम प्रदान करता है. हम बीजगणितीय चर के साथ इस आम अंतर को नोट करेंगे.

शीर्षक वाली छवि एक अंकगणितीय अनुक्रम चरण 10 की किसी भी अवधि का पता लगाएं

3. स्पष्ट सूत्र का उपयोग करें. एक स्पष्ट सूत्र एक बीजगणितीय समीकरण है जिसे आप पूरी सूची लिखने के बिना अंकगणितीय अनुक्रम की किसी भी अवधि को खोजने के लिए उपयोग कर सकते हैं. एक बीजगणितीय अनुक्रम के लिए स्पष्ट सूत्र है

ए (एन) = ए (1) + (एन - 1) घ

$A (n) = a (1) + (n-1) d$ .

शब्द ए (एन) को "एंथ टर्म" के रूप में पढ़ा जा सकता है, जहां एन का प्रतिनिधित्व करता है कि आप किस सूची में खोजना चाहते हैं और एक (एन) उस नंबर का वास्तविक मूल्य है. उदाहरण के लिए, यदि आपको एक अंकगणितीय अनुक्रम में 100 वां आइटम खोजने के लिए कहा जाता है, तो एन 100 होगा. ध्यान दें कि एन 100 है, इस उदाहरण में, लेकिन ए (एन) 100 वें शब्द का मूल्य होगा, न कि नंबर 100 स्वयं.

शीर्षक वाली छवि एक अंकगणितीय अनुक्रम चरण 11 की कोई भी अवधि खोजें

4. समस्या को हल करने के लिए अपनी जानकारी भरें. अपने अनुक्रम के लिए स्पष्ट सूत्र का उपयोग करके, उस जानकारी को भरें जिसे आप जानते हैं कि आपको जिस शब्द की आवश्यकता है उसे ढूंढें.

उदाहरण के लिए, कामकाजी उदाहरण में

3, 8, 13, 18

$3,8,13,18$ ..., हम जानते हैं कि एक (1) पहली अवधि 3 है, और आम अंतर डी 5 है. मान लीजिए आपको उस अनुक्रम में 100 वां शब्द खोजने के लिए कहा जाता है. फिर n = 100, और (n-1) = 99. भरने वाले डेटा के साथ, पूर्ण स्पष्ट सूत्र

ए (100) = 3 + (999) (5)

$A (100) = 3 + (99) (5)$ . यह 498 को सरल बनाता है, जो उस अनुक्रम का 100 वां शब्द है.

4 का विधि 4:

अतिरिक्त जानकारी खोजने के लिए स्पष्ट सूत्र का उपयोग करना

1. अन्य चर के लिए हल करने के लिए स्पष्ट सूत्र को पुनर्व्यवस्थित करें. स्पष्ट सूत्र और कुछ बुनियादी बीजगणित का उपयोग करके, आप एक अंकगणितीय अनुक्रम के बारे में जानकारी के कई टुकड़े पा सकते हैं. अपने मूल रूप में,

ए (एन) = ए (1) + (एन - 1) घ

$A (n) = a (1) + (n-1) d$ , स्पष्ट सूत्र को हल करने के लिए डिज़ाइन किया गया है_एन और आप एक अनुक्रम की nth शब्द देते हैं. हालांकि, आप बीजगणित रूप से इस सूत्र में हेरफेर कर सकते हैं और किसी भी चर के लिए हल कर सकते हैं.

उदाहरण के लिए, मान लीजिए कि आपके पास संख्याओं की एक सूची का अंत है, लेकिन आपको यह जानने की जरूरत है कि अनुक्रम की शुरुआत क्या थी. आप सूत्र को फिर से व्यवस्थित कर सकते हैं $ए (1) = ए (एन) - (एन - 1) घ$ ${ displaystyle A (1) = A (n) - (n-1) d}$
यदि आप एक अंकगणितीय अनुक्रम और उसके अंत बिंदु के शुरुआती बिंदु को जानते हैं, लेकिन आपको यह जानने की जरूरत है कि सूची में कितनी शर्तें हैं, आप एन के लिए हल करने के लिए स्पष्ट सूत्र को पुनर्व्यवस्थित कर सकते हैं. यह होगा $एन = ए (एन) - ए (1) घ + 1$ $n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .
यदि आपको इस परिणाम को बनाने के लिए बीजगणित के बुनियादी नियमों की समीक्षा करने की आवश्यकता है, तो जांच करें बीजगणित जानें या बीजगणितीय अभिव्यक्ति को सरल बनाएं.

एक अंकगणितीय अनुक्रम चरण 13 शीर्षक वाली छवि खोजें

2. अनुक्रम की पहली अवधि का पता लगाएं. आप जान सकते हैं कि अंकगणितीय अनुक्रम की 50 वीं शब्द 300 है, और आप जानते हैं कि शर्तें 7 ("सामान्य अंतर") से बढ़ रही हैं, लेकिन आप यह जानना चाहते हैं कि अनुक्रम की पहली अवधि क्या थी. संशोधित स्पष्ट सूत्र का उपयोग करें जो आपके उत्तर को खोजने के लिए A1 के लिए हल करता है.

समीकरण का उपयोग करें

ए (1) = (एन - 1) घ - ए (एन)

$A (1) = (n-1) d-a (n)$ , और उस जानकारी को भरें जो आप जानते हैं. चूंकि आप जानते हैं कि 50 वीं शब्द 300 है, फिर एन = 50, एन -1 = 49 और ए (एन) = 300. आपको यह भी दिया जाता है कि आम अंतर, डी, 7 है. इसलिए, सूत्र बन जाता है

ए (1) = (49) (7) - 300

$A (1) = (49) (7) -300$ . यह काम करता है

343 - 300 = 43

$343-300 = 43$ . अनुक्रम जो आपने 43 पर शुरू किया है, और 7 द्वारा गिना जाता है. इसलिए, यह 43,50,57,64,71,78 की तरह दिखता है ... 2 9 3,300.

शीर्षक वाली छवि एक अंकगणितीय अनुक्रम चरण 14 की कोई भी अवधि खोजें

3. अनुक्रम की लंबाई ज्ञात कीजिए. मान लीजिए कि आप एक अंकगणितीय अनुक्रम के प्रारंभ और अंत के बारे में सब जानते हैं, लेकिन आपको यह पता लगाने की आवश्यकता है कि यह कितना समय है. संशोधित सूत्र का उपयोग करें

एन = ए (एन) - ए (1) घ + 1

$n = { frac {a (n) -a (1)} {d}} + 1$ .

मान लीजिए कि आप जानते हैं कि दिए गए अंकगणितीय अनुक्रम 100 से शुरू होता है और 13 बढ़ता है. आपको यह भी बताया जाता है कि अंतिम अवधि 2,856 है. अनुक्रम की लंबाई को खोजने के लिए, ए 1 = 100, डी = 13, और ए (एन) = 2856 शर्तों का उपयोग करें. देने के लिए सूत्र में इन शर्तों को सम्मिलित करें

एन = 2856 - 100 13 + 1

$n = { frac {2856-100} {13}} + 1$ . यदि आप इसे काम करते हैं, तो आपको मिलता है

एन = \frac{2756}{13} + 1

$n = { frac {2756} {13}} + 1$ , जो 212 + 1 के बराबर है, जो 213 है. उस अनुक्रम में 213 शब्द हैं.

यह नमूना अनुक्रम 100, 113, 126, 13 9 की तरह दिखेगा ... 2843, 2856.

चेतावनी

संख्याओं के विभिन्न प्रकार के अनुक्रम हैं. यह न मानें कि संख्याओं की एक सूची एक अंकगणितीय अनुक्रम है. शर्तों के बीच सामान्य अंतर खोजने के लिए हमेशा कम से कम दो जोड़े शब्दों, या अधिमानतः तीन या चार की जांच करें.