वैक्टर को कैसे जोड़ें या घटाएं
कई सामान्य भौतिक मात्रा अक्सर वैक्टर या स्केलर होते हैं. वैक्टर तीर के समान हैं और एक सकारात्मक परिमाण (लंबाई) और महत्वपूर्ण रूप से एक दिशा शामिल हैं. अन्य हैंडलारार्स पर केवल नकारात्मक मूल्यों को केवल नकारात्मक मानते हैं.ध्यान दें कि यद्यपि वेक्टर परिमाण सकारात्मक हैं या शायद शून्य वेक्टर के घटक निश्चित रूप से नकारात्मक संकेतक मानते हैं कि समेकित या संदर्भ दिशा के विपरीत वेक्टर निर्देशित है.वैक्टर के उदाहरण: बल, वेग, त्वरण, विस्थापन, वजन, चुंबकीय क्षेत्र, आदि.स्केलर के उदाहरण: द्रव्यमान, तापमान, गति, दूरी, ऊर्जा, वोल्टेज, विद्युत चार्ज, एक तरल पदार्थ के भीतर दबाव, आदि.जबकि स्केलर को सीधे संख्याओं की तरह जोड़ा जा सकता है (ई.जी. 5 केजे प्लस 6 किजे बराबर 11 किजे - या 9 वोल्ट प्लस माइनस 3 वोल्ट 6 वोल्ट देता है: + 9 वी प्लस -3 वी देता है + 6 वी देता है), वैक्टर जोड़ने या घटाने के लिए थोड़ा अधिक जटिल होते हैं, हालांकि कॉललाइनर वैक्टर आसान होते हैं और संख्याओं को जोड़ने की तरह व्यवहार करते हैं जो नकारात्मक हो सकता है. वेक्टर जोड़ और घटाव से निपटने के कई तरीकों से नीचे देखें.
कदम
3 का विधि 1:
ज्ञात घटकों के साथ वैक्टर को जोड़ना और घटाना
1. कुछ समन्वय प्रणाली में घटकों के संदर्भ में एक वेक्टर व्यक्त करें आमतौर पर x, y, और संभवतः सामान्य रूप से 2 या 3 आयामी अंतरिक्ष में जेड (उच्च आयामी कुछ गणितीय परिस्थितियों में भी संभव है). इन घटक भागों को आमतौर पर एक समन्वय प्रणाली में बिंदुओं का वर्णन करने के लिए उपयोग किए गए एक संकेतन के साथ व्यक्त किया जाता है (ई).जी. , आदि.). यदि इन टुकड़ों को जाना जाता है, वैक्टर को जोड़ना या घटाना एक्स, वाई, और जेड घटकों को जोड़ने या घटा देता है.
- ध्यान दें कि वैक्टर 1, 2, या 3-आयामी हो सकते हैं. इस प्रकार, वैक्टर में एक एक्स घटक, एक एक्स और वाई घटक, या एक एक्स, वाई, और जेड घटक हो सकता है.
- आइए मान लें कि हमारे पास दो 3-आयामी वैक्टर हैं, वेक्टर ए और वेक्टर बी. हम इन वैक्टरों को घटक में = और b = के रूप में लिख सकते हैं, तदनुसार एक्स वाई जेड घटकों का उपयोग कर.
2. दो वैक्टर जोड़ने के लिए, हम बस अपने घटकों को जोड़ते हैं.दूसरे शब्दों में, पहले वेक्टर के एक्स घटक को दूसरे के एक्स घटक में जोड़ें और जैसे वाई और जेड के लिए. आपके मूल वैक्टर के एक्स, वाई, और जेड घटकों को जोड़ने से प्राप्त उत्तर आपके नए वेक्टर के एक्स, वाई, और जेड घटक हैं.
3. दो वैक्टर घटाएं, उनके घटकों को घटाएं. ध्यान दें कि एक दूसरे ए-बी से एक वेक्टर को घटाकर जोड़ने के बारे में सोचा जा सकता है "उलटना" उस दूसरे ए + (- बी).
3 का विधि 2:
पूंछ विधि के लिए सिर का उपयोग करके दृष्टिहीन रूप से जोड़ना और घटाना
1. एक सिर और पूंछ के साथ उन्हें चित्रित करके दृश्यता का प्रतिनिधित्व करते हैं. चूंकि वैक्टरों के पास परिमाण और दिशा होती है, इसलिए उन्हें पूंछ और सिर और लंबाई के साथ तीरों की तुलना की जाती है. कहा जा सकता है कि vectors एक कहा जा सकता है "प्रारंभिक बिंदु" और एक "अंत बिंदु". "प्रखर बिन्दु" तीर वेक्टर का सिर और है "आधार" तीर पूंछ है.
- एक वेक्टर की स्केल ड्राइंग करते समय, आपको सभी कोणों को सटीक रूप से मापने और आकर्षित करने की देखभाल करनी चाहिए. गलत खींचे हुए कोणों से खराब जवाब मिलेगा.
2. 2 वैक्टर जोड़ने के लिए, दूसरे वेक्टर बी को आकर्षित करें ताकि उसकी पूंछ पहले ए के सिर को पूरा करे. इसे आपके वैक्टर में शामिल होने के रूप में जाना जाता है "पूंछ से लेकर सिर तक". यदि आप केवल दो वैक्टर जोड़ रहे हैं, तो यह आपको अपने परिणामस्वरूप वेक्टर ए + बी खोजने से पहले करने की आवश्यकता होगी. वेक्टर बी को इसके अभिविन्यास को बदलने के बिना स्थिति में फिसलने की आवश्यकता हो सकती है, जिसे समानांतर परिवहन कहा जाता है.
3. घटाएं, जोड़ें "नकारात्मक" वेक्टर का. घुमावदार वैक्टर नेत्रहीन काफी सरल है. बस वेक्टर की दिशा को उलट दें, लेकिन इसकी परिमाण को समान रखें और इसे अपने वेक्टर हेड को पूंछ में जोड़ें जैसा कि आप सामान्य रूप से करेंगे. दूसरे शब्दों में, एक वेक्टर घटाने के लिए, वेक्टर 180 को चारों ओर घुमाएं और इसे जोड़ें.
4. यदि दो से अधिक वैक्टर को जोड़ना या घटाना है, तो अनुक्रम में अन्य सभी वैक्टर हेड-टू-टेल में शामिल हों. वास्तव में जिस क्रम में आप वैक्टर में शामिल होते हैं, वह कोई फर्क नहीं पड़ता. इस विधि का उपयोग किसी भी तरह के वैक्टर के लिए किया जा सकता है.
5. परिणाम प्राप्त करने के लिए: पहले वेक्टर की पूंछ से आखिरी के सिर तक एक नया वेक्टर बनाएं. चाहे आप दो वैक्टर या सौ को जोड़ना / घटा रहे हों, मूल प्रारंभिक बिंदु (अपने पहले वेक्टर की पूंछ) से आपके अंतिम जोड़े गए वेक्टर (आपके अंतिम वेक्टर के प्रमुख) के अंत तक वेक्टर खींच रहे हैं परिणामी वेक्टर, या आपके सभी वैक्टरों का योग. ध्यान दें कि यह वेक्टर एक्स, वाई, और शायद सभी वैक्टर के सभी वैक्टर के जेड घटकों को जोड़कर प्राप्त वेक्टर के समान है.
6. अपने परिणामस्वरूप वेक्टर का प्रतिनिधित्व करें इसके परिमाण और दिशा के माध्यम से. वैक्टरों को उनकी लंबाई और दिशा द्वारा परिभाषित किया जाता है. जैसा कि ऊपर बताया गया है, मान लीजिए कि आपने अपने वैक्टर को सटीक रूप से आकर्षित किया है, तो आपके नए वेक्टर की परिमाण इसकी लंबाई है और इसकी दिशा लंबवत, क्षैतिज इत्यादि के सापेक्ष इसका कोण है. अपने परिणामी वेक्टर की परिमाण के लिए इकाइयों को चुनने के लिए अपने जोड़े गए या घटित वैक्टर की इकाइयों का उपयोग करें.
3 का विधि 3:
घटकों को ढूंढकर वैक्टर को जोड़ना और घटाना
1. एक वेक्टर के घटकों को खोजने के लिए त्रिकोणमिति का उपयोग करें. एक वेक्टर के घटकों को खोजने के लिए, आमतौर पर इसकी परिमाण और क्षैतिज या ऊर्ध्वाधर के सापेक्ष इसकी दिशा को जानना आवश्यक होता है और त्रिकोणमिति का कामकाजी ज्ञान होता है. पहले 2-डी वेक्टर लेना: अपने वेक्टर को एक सही त्रिकोण के हाइपोटेन्यूज के रूप में सेट या कल्पना करें जिसका अन्य दो पक्ष एक्स और वाई अक्षों के समानांतर हैं. इन दोनों पक्षों को हेड-टू-टेल घटक वैक्टर के रूप में माना जा सकता है जो आपके मूल वेक्टर को बनाने में जोड़ते हैं.
- दोनों पक्षों की लंबाई आपके वेक्टर के एक्स और वाई घटकों के समानता के बराबर होती है और त्रिकोणमिति का उपयोग करके गणना की जा सकती है. यदि x वेक्टर की परिमाण है, तो वेक्टर के कोण के समीप साइड (क्षैतिज, लंबवत आदि के सापेक्ष).) कोण है Xcos (θ), जबकि विपरीत है Xsin (θ).
- अपने घटकों की दिशा को नोट करना भी महत्वपूर्ण है. यदि घटक आपकी कुल्हाड़ियों में से किसी एक की नकारात्मक दिशा में इंगित करता है, तो इसे एक नकारात्मक संकेत दिया जाता है. उदाहरण के लिए, 2-डी विमान में, यदि कोई घटक बाएं या नीचे की ओर इंगित करता है, तो इसे एक नकारात्मक संकेत दिया जाता है.
- उदाहरण के लिए, मान लें कि हमारे पास 3 की परिमाण और क्षैतिज के सापेक्ष 135 की दिशा के साथ एक वेक्टर है. इस जानकारी के साथ, हम यह निर्धारित कर सकते हैं कि इसका x घटक 3cos (135) = है -2.12 और इसका वाई घटक 3sin (135) = है 2.12
2. दो या अधिक वैक्टर के संबंधित घटकों को जोड़ें या घटाएं. जब आपके सभी वैक्टर के घटक मिलते हैं, तो बस अपने परिणामस्वरूप वेक्टर के घटकों को खोजने के लिए अपनी परिमाण को एक साथ जोड़ें. सबसे पहले, क्षैतिज घटकों (एक्स-अक्ष के समानांतर) के सभी परिमाण को एक साथ जोड़ें. अलग से, लंबवत घटकों की सभी परिमाण (y-axis के समानांतर) जोड़ें. यदि किसी घटक का नकारात्मक संकेत (-) होता है, तो इसके परिमाण को जोड़ा जाता है, इसके बजाय. आपके द्वारा प्राप्त किए गए उत्तर आपके परिणामी वेक्टर के घटक हैं.
3. Pythagorean प्रमेय का उपयोग कर परिणामी वेक्टर की परिमाण की गणना करें. पाइथागोरियन प्रमेय, सी = ए + बी, सही त्रिकोण के पक्ष की लंबाई के लिए हल करता है. चूंकि हमारे परिणामस्वरूप वेक्टर और उसके घटकों द्वारा गठित त्रिभुज एक सही त्रिभुज है, हम इसे हमारे वेक्टर की लंबाई और इसलिए इसकी परिमाण खोजने के लिए इसका उपयोग कर सकते हैं. साथ में सी परिणामस्वरूप वेक्टर की परिमाण के रूप में, जिसे आप के लिए हल कर रहे हैं, सेट करें ए इसके x घटक की परिमाण के रूप में और ख इसके y घटकों की परिमाण के रूप में. बीजगणित के साथ हल करें.
4. टेंगेंट फ़ंक्शन के परिणामस्वरूप की दिशा की गणना करें. अंत में, परिणामी वेक्टर की दिशा का पता लगाएं. सूत्र का उपयोग करें θ = टैन (बी / ए), जहां θ कोण है कि परिणामी एक्स-अक्ष या क्षैतिज के साथ बनाता है, बी वाई घटक की परिमाण है, और ए एक्स घटक की परिमाण है.
5. अपने परिणामस्वरूप वेक्टर का प्रतिनिधित्व करें इसके परिमाण और दिशा के माध्यम से. जैसा कि ऊपर बताया गया है, वैक्टर को उनकी परिमाण और दिशा द्वारा परिभाषित किया गया है. अपने वेक्टर की परिमाण के लिए उचित इकाइयों का उपयोग करना सुनिश्चित करें.
वीडियो
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टिप्स
कॉलम वैक्टर को प्रत्येक पंक्ति में मूल्यों को जोड़ने या घटाने से जोड़ा या घटाया जा सकता है.
फॉर्म एक्स में प्रतिनिधित्व किए गए वैक्टरमैं + yजे + जेडक तीन यूनिट वैक्टर के गुणांक को जोड़कर या घटाकर जोड़ा या घटाया जा सकता है. जवाब मैं, जे, के रूप में भी होगा.
वैक्टरों को परिमाण के साथ भ्रमित नहीं किया जाना चाहिए.
आप सूत्र का उपयोग करके तीन आयामों में एक वेक्टर की परिमाण पा सकते हैं ए = बी + सी + डी, कहां है ए वेक्टर की परिमाण है, और बी, सी, तथा घ प्रत्येक दिशा में घटक हैं.
उसी दिशा में वैक्टर को उनके परिमाण को जोड़ने या घटाने से जोड़ा या घटाया जा सकता है. अगर तुम जोड़ना विपरीत दिशाओं में दो वैक्टर, उनकी परिमाण हैं घटाया, नहीं जोड़ा गया.
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