घातीय कार्यों को अलग करने के लिए कैसे

घातीय कार्यों में कार्यों की एक विशेष श्रेणी होती है जिसमें चर या कार्य होते हैं जो आकर्षण होते हैं. कैलकुस के कुछ बुनियादी नियमों का उपयोग करके, आप जैसे बुनियादी कार्यों के व्युत्पन्न को ढूंढकर शुरू कर सकते हैं एएक्स{ displaysstyle a ^ {x}}a ^ {x}. यह तब एक फॉर्म प्रदान करता है जिसका उपयोग आप एक परिवर्तनीय आधार के लिए उपयोग कर सकते हैं जो एक परिवर्तनीय एक्सपोनेंट में उठाए गए हैं. इस काम का विस्तार, आप उन कार्यों का व्युत्पन्न भी पा सकते हैं जहां एक्सपोनेंट स्वयं ही एक समारोह है. अंत में, आप देखेंगे कि "पावर टॉवर" को अलग करने के लिए एक विशेष फ़ंक्शन जिसमें एक्सपोनेंट आधार से मेल खाता है.

कदम

4 का भाग 1:
सामान्य घातीय कार्यों को अलग करना
1. एक सामान्य घातीय कार्य के साथ शुरू करें. आधार के रूप में एक चर का उपयोग करके एक बुनियादी घातीय कार्य के साथ शुरू करें. इस तरह से सामान्य कार्य के व्युत्पन्न की गणना करके, आप इसी तरह के कार्यों के पूर्ण परिवार के लिए समाधान के रूप में समाधान का उपयोग कर सकते हैं.
  • y=एएक्स{ displaystyle y = a ^ {x}}y = a ^ {{x}}
  • 2. दोनों पक्षों के प्राकृतिक लघुगणक लें. आपको चर के संदर्भ में मानक व्युत्पन्न खोजने में मदद के लिए फ़ंक्शन में हेरफेर करने की आवश्यकता है एक्स{ displaystyle x}एक्स. यह दोनों पक्षों के प्राकृतिक लघुगणक लेकर शुरू होता है, जैसा कि निम्नानुसार है:
  • ln⁡y=ln⁡एएक्स{ displaysstyle ln y = ln a ^ {x}} ln y = ln a ^ {{x}}
  • 3. एक्सपोनेंट को हटा दें. लॉगरिदम के नियमों का उपयोग करके, इस समीकरण को एक्सपोनेंट को खत्म करने के लिए सरलीकृत किया जा सकता है. लॉगरिदम फ़ंक्शन के भीतर एक्सपोनेंट को लॉगरिदम के सामने एकाधिक के रूप में हटाया जा सकता है, जैसा कि निम्नानुसार है:
  • ln⁡y=एक्सln⁡ए{ displaysstyle ln y = x ln} ln y = x ln a
  • 4. दोनों पक्षों को अलग करें और सरल बनाएं. अगला कदम प्रत्येक पक्ष को सम्मान के साथ अलग करना है एक्स{ displaystyle x}एक्स. चूंकि ए{ displaystyle A}ए एक स्थिर है, तो ln⁡ए{ displaysstyle ln} ln a एक स्थिर भी है. का व्युत्पन्न एक्स{ displaystyle x}एक्स 1 को सरल बनाता है, और शब्द गायब हो जाता है. चरण निम्नानुसार हैं:
  • ln⁡y=एक्सln⁡ए{ displaysstyle ln y = x ln} ln y = x ln a
  • घघएक्सln⁡y=घघएक्सएक्सln⁡ए{ displaystyle { frac {d} {dx}} ln y = { frac {d} {dx}} x ln}{ frac {d} {dx}} ln y = { frac {d} {dx}} x ln a
  • 1yघyघएक्स=ln⁡एघघएक्सएक्स{ displaystyle { frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln { frac {d} {dx}} x}{ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln { frac {d} {dx}} x
  • 1yघyघएक्स=ln⁡ए*1{ displaystyle { frac {1} {{}} { frac {dy} {dx}} = ln a * 1}{ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a * 1
  • 1yघyघएक्स=ln⁡ए{ displaystyle { frac {1} {{{}} { frac {dy} {dx}} = ln}{ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a
  • 5. व्युत्पन्न के लिए हल करने के लिए सरल. व्युत्पन्न को अलग करने के लिए Y द्वारा दोनों पक्षों को गुणा करें. बीजगणित के बुनियादी चरणों का उपयोग करके, इस समीकरण के दोनों किनारों को गुणा करें y{ displaystyle y}y. यह व्युत्पन्न को अलग कर देगा y{ displaystyle y}y समीकरण के बाईं ओर. फिर याद रखें y=एएक्स{ displaystyle y = a ^ {x}}y = a ^ {x}, इसलिए समीकरण के दाईं ओर उस मूल्य को प्रतिस्थापित करें. कदम इस तरह दिखते हैं:
  • 1yघyघएक्स=ln⁡ए{ displaystyle { frac {1} {{{}} { frac {dy} {dx}} = ln}{ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = ln a
  • घyघएक्स=yln⁡ए{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = y ln}{ frac {dy} {dx}} = y ln a
  • घyघएक्स=एएक्सln⁡ए{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = a ^ {x} ln}{ frac {dy} {dx}} = a ^ {x} ln a
  • 6. अंतिम परिणाम की व्याख्या करें. याद करते हुए कि मूल फ़ंक्शन घातीय कार्य था y=एएक्स{ displaystyle y = a ^ {x}}y = a ^ {x}, यह समाधान दिखाता है कि सामान्य घातीय कार्य का व्युत्पन्न है एएक्सln⁡ए{ displaysstyle a ^ {x} ln}a ^ {x} ln a.
  • इसे किसी भी मूल्य के लिए विस्तारित किया जा सकता है ए{ displaystyle A}ए, जैसा कि निम्नलिखित उदाहरणों में:
  • घघएक्स2एक्स=2एक्सln⁡2{ displaystyle { frac {d} {dx}} 2 ^ {x} = 2 ^ {x} ln 2}{ frac {d} {dx}} 2 ^ {x} = 2 ^ {x} ln 2
  • घघएक्स3एक्स=3एक्सln⁡3{ displaystyle { frac {d} {dx}} 3 ^ {x} = 3 ^ {x} ln 3}{ frac {d} {dx}} 3 ^ {x} = 3 ^ {x} ln 3
  • घघएक्स10एक्स=10एक्सln⁡10{ displaystyle { frac {d} {dx}} 10 ^ {x} = 10 ^ {x} ln 10}{ frac {d} {DX}} 10 ^ {x} = 10 ^ {x} ln 10
    • 4 का भाग 2:
    ई के व्युत्पन्न के लिए सबूत का विस्तार
    1. विशेष उदाहरण चुनें. पूर्व खंड से पता चला है कि आधार के रूप में किसी भी स्थिर के साथ घातीय कार्य के सामान्य मामले को कैसे अलग करना है. इसके बाद, विशेष मामले का चयन करें जहां आधार घातीय निरंतर है इ{ displaysstyle e}इ.
    • इ{ displaysstyle e}इ गणितीय निरंतर है जो लगभग 2 के बराबर है.718.
    • इस व्युत्पन्न के लिए, विशेष कार्य का चयन करें y=इएक्स{ displaystyle y = e ^ {x}}y = e ^ {x}.
  • 2. सामान्य घातीय समारोह व्युत्पन्न के प्रमाण का उपयोग करें. याद रखें, पूर्व खंड से, कि एक सामान्य घातीय कार्य का व्युत्पन्न एएक्स{ displaysstyle a ^ {x}}a ^ {x} है एएक्सln⁡ए{ displaysstyle a ^ {x} ln}a ^ {x} ln a. इस परिणाम को विशेष कार्य पर लागू करें इएक्स{ displaysstyle e ^ {x}}e ^ {x} निम्नलिखित नुसार:
  • y=इएक्स{ displaystyle y = e ^ {x}}y = e ^ {x}
  • घyघएक्स=घघएक्सइएक्स{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {d} {DX}} e ^ {x}}{ frac {dy} {dx}} = { frac {d} {dx}} e ^ {x}
  • घyघएक्स=इएक्सln⁡इ{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e}{ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e
  • 3. परिणाम को सरल बनाएं. याद रखें कि प्राकृतिक लघुगणक विशेष स्थिरता पर आधारित है इ{ displaysstyle e}इ. इसलिए, का प्राकृतिक लघुगणक इ{ displaysstyle e}इ सिर्फ 1 है. यह व्युत्पन्न परिणाम को निम्नानुसार सरल बनाता है:
  • घyघएक्स=इएक्सln⁡इ{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e}{ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} ln e
  • घyघएक्स=इएक्स*1{ displaystyle { frac {din} {dx}} = e ^ {x} * 1}{ frac {dy} {dx}} = e ^ {x} * 1
  • घyघएक्स=इएक्स{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = e ^ {x}}{ frac {dy} {dx}} = e ^ {x}
  • 4. अंतिम परिणाम की व्याख्या करें. यह सबूत विशेष मामले की ओर जाता है जो समारोह का व्युत्पन्न होता है इएक्स{ displaysstyle e ^ {x}}e ^ {x} क्या वह बहुत ही काम करता है. इस प्रकार:
  • घघएक्सइएक्स=इएक्स{ displaystyle { frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}}{ frac {d} {dx}} e ^ {x} = e ^ {x}
    • 4 का भाग 3:
    एक कार्यात्मक एक्सपोनेंट के साथ ई के व्युत्पन्न को ढूंढना
    1. अपने कार्य को परिभाषित करें. इस उदाहरण के लिए, आपको उन कार्यों का सामान्य व्युत्पन्न मिलेगा जो हैं इ{ displaysstyle e}इ एक एक्सपोनेंट के लिए उठाया, जब एक्सपोनेंट स्वयं का एक कार्य है एक्स{ displaystyle x}एक्स.
    • उदाहरण के रूप में, समारोह पर विचार करें y=इ2एक्स+3{ displaysstyle y = e ^ {2x + 3}}y = e ^ {{2x + 3}}.
  • 2. परिवर्ती को परिभाषित करें यू { displaysstyle u}यू. यह समाधान डेरिवेटिव्स के श्रृंखला नियम को शामिल करने जा रहा है. याद रखें कि जब आपके पास एक कार्य होता है तो चेन नियम लागू होता है, यू(एक्स){ displaystyle u (x)}यू (एक्स) दूसरे के अंदर घोंसला, एफ(एक्स){ displaysstyle f (x)}f (x), जैसा कि आपके यहां है. श्रृंखला नियम बताता है:
  • घyघएक्स=घyघयू*घयूघएक्स{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}}{ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {DX}}
  • संक्षेप में, आप एक्सपोनेंट को एक अलग समारोह के रूप में परिभाषित करेंगे यू(एक्स){ displaystyle u (x)}यू (एक्स).
  • इस उदाहरण के लिए, एक्सपोनेंट नेस्टेड फ़ंक्शन है यू(एक्स){ displaystyle u (x)}यू (एक्स). इस प्रकार, इस उदाहरण के लिए:
  • y=इयू{ displaysstyle y = e ^ {u}}y = e ^ {u}, तथा
  • यू=2एक्स+3{ displaysstyle u = 2x + 3}u = 2x + 3
  • 3. श्रृंखला नियम लागू करें. चेन नियम के लिए आपको दोनों कार्यों के व्युत्पन्न खोजने की आवश्यकता होती है y{ displaystyle y}y तथा यू{ displaysstyle u}यू. परिणामी व्युत्पन्न तब उन दोनों का उत्पाद होता है.
  • दो अलग डेरिवेटिव हैं:
  • घyघयू=घघयूइयू=इयू{ displaystyle { frac {dy} {du}} = { frac {d} {du}} e ^ {u} = e ^ {u}}{ displaystyle { frac {dy} {du}} = { frac {d} {du}} e ^ {u} = e ^ {u}}. (याद रखें कि का व्युत्पन्न इएक्स{ displaysstyle e ^ {x}}e ^ {x} है इएक्स{ displaysstyle e ^ {x}}e ^ {x}.)
  • घयूघएक्स=घघएक्स(2एक्स+3)=2{ displaystyle { frac {du} {dx}} = { frac {d} {DX}} (2x + 3) = 2}{ frac {du} {dx}} = { frac {d} {DX}} (2x + 3) = 2
  • दो अलग डेरिवेटिव खोजने के बाद, उन्हें मूल फ़ंक्शन के व्युत्पन्न को खोजने के लिए गठबंधन करें:
  • घyघएक्स=घyघयू*घयूघएक्स{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}}{ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {DX}}
  • घघएक्सइ2एक्स+3=इ(2एक्स+3)*2=2इ(2एक्स+3){ displaystyle { frac {d} {dx}} e ^ {{2x + 3} = e ^ {(2x + 3)} * 2 = 2e ^ {(2x + 3)}}{ frac {d} {dx}} e ^ {{2x + 3}} = e ^ {{(2x + 3)}} * 2 = 2e ^ {{(2x + 3)}}
  • 4. का एक और उदाहरण का अभ्यास करें इ { displaysstyle e}इ एक कार्यात्मक एक्सपोनेंट के साथ. एक और उदाहरण का चयन करें, y=इपाप⁡एक्स{ displaystyle y = e ^ { sin x}}y = e ^ {{ sin x}}.
  • नेस्टेड फ़ंक्शन को परिभाषित करें. इस मामले में, यू=पाप⁡एक्स{ displaysstyle u = sin x}u = sin x.
  • कार्यों के व्युत्पन्न खोजें y{ displaystyle y}y तथा यू{ displaysstyle u}यू.
  • घyघयू=इयू{ displaystyle { frac {din} {du}} = e ^ {u}}{ frac {dy} {du}} = e ^ {u}
  • घयूघएक्स=क्योंकि⁡एक्स{ displaystyle { frac {du} {dx}} = cos x}{ frac {du} {dx}} = cos x
  • श्रृंखला नियम का उपयोग करके गठबंधन करें:
  • y=इपाप⁡एक्स{ displaystyle y = e ^ { sin x}}y = e ^ {{ sin x}}
  • घyघएक्स=घyघयू*घयूघएक्स{ displaystyle { frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {dx}}}{ frac {dy} {dx}} = { frac {dy} {du}} * { frac {du} {DX}}
  • घघएक्सइपाप⁡एक्स=इयू*क्योंकि⁡एक्स=इपाप⁡एक्सक्योंकि⁡एक्स{ displaystyle { frac {d} {dx}} e ^ { sin x} = e ^ {u} * cos x = e ^ { sin x} cos x}{ frac {d} {dx}} e ^ {{ sin x}} = e ^ {{} * cos x = e ^ {{ sin x}} cos x
    • 4 का भाग 4:
    एक्स के व्युत्पन्न को ढूंढना
    1. समारोह को परिभाषित करें. इस विशेष उदाहरण के लिए, कभी-कभी "पावर टॉवर" कहा जाता है, जैसे फ़ंक्शन का चयन करें:
    • y=एक्सएक्स{ displaystyle y = x ^ {x}}y = x ^ {x}
  • 2. प्रत्येक पक्ष के प्राकृतिक लघुगणक का पता लगाएं. पहले के रूप में, यहां समाधान समीकरण के प्रत्येक पक्ष के प्राकृतिक लघुगणक के साथ शुरू होता है:
  • ln⁡y=ln⁡(एक्सएक्स){ displaystyle ln y = ln (x ^ {x})} ln y = ln (x ^ {x})
  • ln⁡y=एक्सln⁡एक्स{ displaysstyle ln y = x ln x} ln y = x ln x
  • 3. समीकरण के प्रत्येक पक्ष का व्युत्पन्न करें. इस समीकरण के दाईं ओर, आपको डेरिवेटिव के उत्पाद नियम को लागू करने की आवश्यकता होगी. याद रखें कि उत्पाद नियम बताता है कि यदि y=एफ(एक्स)*जी(एक्स){ displaystyle y = f (x) * g (x)}y = f (x) * g (x), तब फिर y`=एफ*जी`+एफ`*जी{ displaystyle y ^ { prim} = f * g ^ { pry} + f ^ { प्राइम} * g}y ^ {{ primy}} = f * g ^ {{ prim}} + f ^ {{ pry}} * g.
  • ln⁡y=एक्सln⁡एक्स{ displaysstyle ln y = x ln x} ln y = x ln x
  • 1yघyघएक्स=एक्स*1एक्स+1*ln⁡एक्स{ displaystyle { frac {1} {{}} { frac {dy} {dx}} = x * { frac {1} {x}} + 1 * ln x}{ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = x * { frac {1} {x}} + 1 * ln x
  • 1yघyघएक्स=1+ln⁡एक्स{ displaystyle { frac {1} {{}} { frac {dy} {dx}} = 1+ ln x}{ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = 1+ ln x
  • 4. Y द्वारा प्रत्येक पक्ष को गुणा करें. समीकरण के दोनों किनारों को गुणा करके दाईं ओर व्युत्पन्न शब्द को अलग करें.
  • 1yघyघएक्स=1+ln⁡एक्स{ displaystyle { frac {1} {{}} { frac {dy} {dx}} = 1+ ln x}{ frac {1} {y}} { frac {dy} {dx}} = 1+ ln x
  • घyघएक्स=y*(1+ln⁡एक्स){ displaystyle { frac {din} {dx}} = y * (1+ ln x)}{ frac {dy} {dx}} = y * (1+ ln x)
  • 5. Y के मूल मान को बदलें. फ़ंक्शन के पहले चरण से याद करें y=एक्सएक्स{ displaystyle y = x ^ {x}}y = x ^ {x}. इस शब्द को जगह में बदलना y{ displaystyle y}y व्युत्पन्न खोजने के लिए अंतिम चरण है.
  • घyघएक्स=y*(1+ln⁡एक्स){ displaystyle { frac {din} {dx}} = y * (1+ ln x)}{ frac {dy} {dx}} = y * (1+ ln x)
  • घyघएक्स=एक्सएक्स(1+ln⁡एक्स){ displaystyle { frac {dy} {dx}} = x ^ {x} (1+ ln x)}{ frac {dy} {dx}} = x ^ {x} (1+ ln x)
  • घघएक्सएक्सएक्स=एक्सएक्स+एक्सएक्सln⁡एक्स{ displaystyle { frac {d} {dx}} x ^ {x} = x ^ {x} + x ^ {x} ln x}{ frac {d} {dx}} x ^ {x} = x ^ {x} + x ^ {x} ln x

    • वीडियो

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    टिप्स

    यदि आप लॉगरिदम को नहीं समझते हैं, तो देखें लॉगरिदम को कैसे समझें.
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