एक वर्गबद्ध समीकरण के शीर्ष कैसे प्राप्त करें

एक का शीर्ष द्विघात समीकरण या पैराबोला उस समीकरण का उच्चतम या निम्नतम बिंदु है. यह पूरे पैराबोला की समरूपता के विमान पर भी स्थित है- पैराबोला के बाईं ओर जो भी झूठ है वह दाईं ओर की पूरी दर्पण छवि है. यदि आप एक वर्गबद्ध समीकरण के शीर्ष खोजना चाहते हैं, तो आप या तो वर्टेक्स फॉर्मूला का उपयोग कर सकते हैं, या वर्ग को पूरा कर सकते हैं.

कदम

2 का विधि 1:
वर्टेक्स फॉर्मूला का उपयोग करना
  1. शीर्षक वाली छवि एक वर्गबद्ध समीकरण चरण 1 के शीर्ष खोजें
1. ए, बी, और सी के मानों की पहचान करें. एक वर्गबद्ध समीकरण में, एक्स2{ displaysstyle x ^ {2}}x ^ {2} शब्द = ए, एक्स{ displaystyle x}एक्स शब्द = ख, और निरंतर शब्द (एक चर के बिना शब्द) = सी. मान लीजिए कि आप निम्नलिखित समीकरण के साथ काम कर रहे हैं: `y=एक्स2+9एक्स+18{ displaystyle y = x ^ {2} + 9x + 18}{ displaystyle y = x ^ {2} + 9x + 18}. इस उदाहरण में, ए{ displaystyle A}ए = 1, ख{ displaystyle b}ख = 9, तथा सी{ displaysstyle c}सी = 18.
  • शीर्षक वाली छवि एक वर्गबद्ध समीकरण चरण 2 के शीर्ष खोजें
    2. कशेरुक के एक्स-वैल्यू को खोजने के लिए वर्टेक्स फॉर्मूला का उपयोग करें. वर्टेक्स समरूपता की समीकरण की अक्ष भी है. एक वर्गबद्ध समीकरण के शीर्ष के एक्स-वैल्यू को खोजने के लिए सूत्र है एक्स=-ख2ए{ displaystyle x = { frac {-b} {2a}}}{ displaystyle x = { frac {-b} {2a}}}. खोजने के लिए प्रासंगिक मूल्यों में प्लग करें एक्स. A और B के मानों को प्रतिस्थापित करें. अपना काम दिखाओ:
  • एक्स=-ख2ए{ displaystyle x = { frac {-b} {2a}}}{ displaystyle x = { frac {-b} {2a}}}
  • एक्स=-(9)(2)(1){ displaystyle x = { frac {- (9)} {(2) (1)}}}{ displaystyle x = { frac {- (9)} {(2) (1)}}}
  • एक्स=-92{ displaystyle x = { frac {-9} {2}}}{ displaystyle x = { frac {-9} {2}}}
  • शीर्षक वाली छवि एक वर्गबद्ध समीकरण चरण 3 के शीर्ष खोजें
    3. प्लग द एक्स { displaystyle x}एक्स प्राप्त करने के लिए मूल समीकरण में मूल्य y { displaystyle y}y मूल्य. अब आप जानते हैं एक्स{ displaystyle x}एक्स मूल्य, बस इसे मूल सूत्र में प्लग करें y{ displaystyle y}y मूल्य. आप एक द्विघात कार्य के शीर्ष के रूप में सूत्र के बारे में सोच सकते हैं (एक्स,y)=[(-ख2ए),एफ(-ख2ए)]{ displaystyle (x, y) = _ बाएं [({ frac {-b} {2a}}), f ({ frac {-b} {2a}}) राइट]}}{ displaystyle (x, y) = _ बाएं [({ frac {-b} {2a}}), f ({ frac {-b} {2a}}) राइट]}}. इसका मतलब है कि पाने के लिए y{ displaystyle y}y मूल्य, आपको ढूंढना होगा एक्स{ displaystyle x}एक्स सूत्र के आधार पर मूल्य और फिर इसे समीकरण में वापस प्लग करें. यहां बताया गया है कि आप इसे कैसे करते हैं:
  • y=एक्स2+9एक्स+18{ displaystyle y = x ^ {2} + 9x + 18}{ displaystyle y = x ^ {2} + 9x + 18}
  • y= (-9)(2)2+9(-9)(2)+18{ displaystyle y = { frac {(-9)} {(2)} ^ {2} +9 { frac {(-9)} {(2)}} + 18}{ displaystyle y = { frac {(-9)} {(2)} ^ {2} +9 { frac {(-9)} {(2)}} + 18}
  • y=814-812+18{ displaystyle y = { frac {81} {4}} - { frac {81} {2}} + 18}{ displaystyle y = { frac {81} {4}} - { frac {81} {2}} + 18}
  • y=814-1624+724{ displaystyle y = { frac {81} {4}} - { frac {162} {4}} + { frac {72} {4}}}{ displaystyle y = { frac {81} {4}} - { frac {162} {4}} + { frac {72} {4}}}
  • y=(81-162+72)4{ displaystyle y = { frac {(81-162 + 72)} {4}}}{ displaystyle y = { frac {(81-162 + 72)} {4}}}
  • y=-94{ displaystyle y = { frac {-9} {4}}}{ displaystyle y = { frac {-9} {4}}}
  • शीर्षक वाली छवि एक वर्गबद्ध समीकरण चरण 4 के शीर्ष खोजें
    4. नीचे लिखें एक्स { displaystyle x}एक्स तथा y { displaystyle y}y एक आदेशित जोड़ी के रूप में मूल्य. अब जब आप जानते हैं एक्स=-92{ displaystyle x = { frac {-9} {2}}}{ displaystyle x = { frac {-9} {2}}}, तथा y=-94{ displaystyle y = { frac {-9} {4}}}{ displaystyle y = { frac {-9} {4}}}, बस उन्हें एक आदेशित जोड़ी के रूप में लिखें: (-92,-94){ displaystyle ({ frac {-9} {2}}, { frac {-9} {4}})}{ displaystyle ({ frac {-9} {2}}, { frac {-9} {4}})}. इस वर्गबद्ध समीकरण का शीर्ष (-92,-94){ displaystyle ({ frac {-9} {2}}, { frac {-9} {4}})}{ displaystyle ({ frac {-9} {2}}, { frac {-9} {4}})}. यदि आप इस पैराबोला को ग्राफ पर आकर्षित करना चाहते थे, तो यह बिंदु पैराबोला का न्यूनतम होगा, क्योंकि एक्स2{ displaysstyle x ^ {2}}x ^ {2} शब्द सकारात्मक है.
    • 2 का विधि 2:
    वर्ग पूरा करना
    1. शीर्षक वाली छवि एक वर्गबद्ध समीकरण चरण 5 के शीर्ष खोजें
    1. समीकरण लिखें. वर्ग को पूरा करना एक वर्गबद्ध समीकरण के शीर्ष खोजने का एक और तरीका है. इस विधि के लिए, जब आप अंत तक पहुंचते हैं, तो आप मूल समीकरण में एक्स समन्वय को वापस प्लग करने के बजाय, अपने एक्स और वाई निर्देशांक को तुरंत ढूंढ पाएंगे. मान लीजिए कि आप निम्नलिखित वर्गबद्ध समीकरण के साथ काम कर रहे हैं: एक्स2+4एक्स+1=0{ displaystyle x ^ {2} + 4x + 1 = 0}{ displaystyle x ^ {2} + 4x + 1 = 0}.
  • शीर्षक वाली छवि एक वर्गबद्ध समीकरण चरण 6 के शीर्ष खोजें
    2. प्रत्येक शब्द को गुणांक से विभाजित करें एक्स2 { displaysstyle x ^ {2}}x ^ {2}अवधि. इस मामले में, के गुणांक एक्स2{ displaysstyle x ^ {2}}x ^ {2}अवधि 1 है, इसलिए आप इस चरण को छोड़ सकते हैं. प्रत्येक शब्द को विभाजित करना 1 कुछ भी नहीं बदलेगा. प्रत्येक शब्द को विभाजित करना 0, हालांकि, सब कुछ बदल जाएगा.
  • शीर्षक वाली छवि एक वर्गबद्ध समीकरण चरण 7 के शीर्ष खोजें
    3. निरंतर शब्द को समीकरण के दाईं ओर ले जाएं. निरंतर शब्द एक गुणांक के बिना शब्द है. इस मामले में, यह है 1. चाल 1 घटाकर समीकरण के दूसरी तरफ 1 दोनों तरफ से. यहां बताया गया है कि आप इसे कैसे करते हैं:
  • एक्स2+4एक्स+1=0{ displaystyle x ^ {2} + 4x + 1 = 0}{ displaystyle x ^ {2} + 4x + 1 = 0}
  • एक्स2+4एक्स+1-1=0-1{ displaystyle x ^ {2} + 4x + 1-1 = 0-1}{ displaystyle x ^ {2} + 4x + 1-1 = 0-1}
  • एक्स2+4एक्स=-1{ displaystyle x ^ {2} + 4x = -1}{ displaystyle x ^ {2} + 4x = -1}
  • शीर्षक वाली छवि एक वर्गबद्ध समीकरण चरण 8 के शीर्ष का पता लगाएं
    4. समीकरण के बाईं ओर वर्ग को पूरा करें. ऐसा करने के लिए, बस खोजें (ख2)2{ displaystyle ({ frac {b} {2}}) ^ {2}}{ displaystyle ({ frac {b} {2}}) ^ {2}} और समीकरण के दोनों किनारों पर परिणाम जोड़ें. लगाना 4 के लिये ख{ displaystyle b}ख, जबसे4एक्स{ displaystyle 4x}4 एक्स इस समीकरण का बी-कार्यकाल है.
  • (42)2=22=4{ displaystyle ({ frac {4} {2}}) ^ {2} = 2 ^ {2} = 4}{ displaystyle ({ frac {4} {2}}) ^ {2} = 2 ^ {2} = 4}. अब, जोड़ें 4 समीकरण के दोनों किनारों को निम्नलिखित प्राप्त करने के लिए:
  • एक्स2+4एक्स+4=-1+4{ displaysstyle x ^ {2} + 4x + 4 = -1 + 4}{ displaysstyle x ^ {2} + 4x + 4 = -1 + 4}
  • एक्स2+4एक्स+4=3{ displaysstyle x ^ {2} + 4x + 4 = 3}{ displaysstyle x ^ {2} + 4x + 4 = 3}
  • शीर्षक वाली छवि एक वर्गबद्ध समीकरण चरण 9 के शीर्ष का पता लगाएं
    5. समीकरण के बाईं ओर कारक. अब आप इसे देखेंगे एक्स2+4एक्स+4{ displaysstyle x ^ {2} + 4x + 4}{ displaysstyle x ^ {2} + 4x + 4} एक आदर्श वर्ग है. इसे फिर से लिखा जा सकता है (एक्स+2)2=3{ displaystyle (x + 2) ^ {2} = 3}{ displaystyle (x + 2) ^ {2} = 3}
  • शीर्षक वाली छवि एक वर्गबद्ध समीकरण चरण 10 के शीर्ष खोजें
    6. खोजने के लिए इस प्रारूप का उपयोग करें एक्स { displaystyle x}एक्स तथा y { displaystyle y}y COORDINATES. आप अपना पा सकते हैं एक्स{ displaystyle x}एक्स बस सेट करके समन्वय (एक्स+2)2{ displaystyle (x + 2) ^ {2}}{ displaystyle (x + 2) ^ {2}} शून्य के बराबर. तो कब (एक्स+2)2=0{ displaysstyle (x + 2) ^ {2} = 0}{ displaysstyle (x + 2) ^ {2} = 0}, क्या होगा एक्स{ displaystyle x}एक्स होना है? चर एक्स{ displaystyle x}एक्स ये होना है -2 संतुलन के लिए +2, तो आपका एक्स{ displaystyle x}एक्स समन्वय है -2. आपका वाई-समन्वय समीकरण के दूसरी तरफ स्थित है. इसलिए, y=3{ displaystyle y = 3}{ displaystyle y = 3}. आप एक शॉर्टकट भी कर सकते हैं और एक्स-समन्वय प्राप्त करने के लिए केवल कोष्ठक में संख्या के विपरीत संकेत ले सकते हैं. तो समीकरण का शीर्ष एक्स2+4एक्स+1=(-2,-3){ displaystyle x ^ {2} + 4x + 1 = (- 2, -3)}{ displaystyle x ^ {2} + 4x + 1 = (- 2, -3)}.

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    टिप्स

    सही ढंग से एक, बी, और सी की पहचान करें.
  • हमेशा अपना काम दिखाएं. न केवल यह आपको चिह्नित करने में मदद करता है कि आप यह देखते हैं कि आप जानते हैं कि आप क्या कर रहे हैं लेकिन यह आपको यह देखने में मदद करता है कि आप कोई गलती कहां कर रहे हैं.
  • एक सही परिणाम के लिए संचालन के आदेश का पालन किया जाना चाहिए.

    • चेतावनी

    अपने काम को दिखाएं और जांचें!
  • सुनिश्चित करें कि आप जानते हैं कि ए, बी, और सी क्या हैं - यदि आप नहीं करते हैं, तो जवाब गलत होगा.
  • नहीं तनाव अपने आप को - यह ले सकता है अभ्यास.

    • चीजें आप की आवश्यकता होगी

    • गणित ग्राफ पैड या कंप्यूटर स्क्रीन
    • कैलकुलेटर
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