बीजगणित समीकरणों को कारक कैसे करें

गणित में, फैक्टरिंग संख्या या भावों को खोजने का कार्य है जो किसी दिए गए नंबर या समीकरण को एक साथ गुणा करते हैं. फैक्टरिंग बुनियादी बीजगणित समस्याओं को हल करने के उद्देश्य से सीखने के लिए एक उपयोगी कौशल है- द्विघात समीकरणों और बहुपद के अन्य रूपों से निपटने के दौरान सक्षम रूप से कारक लगभग आवश्यक हो जाता है. सॉल्विंग को हल करने के लिए बीजगणितीय अभिव्यक्तियों को सरल बनाने के लिए फैक्टरिंग का उपयोग किया जा सकता है. फैक्टरिंग आपको मैन्युअल रूप से हल करने में सक्षम होने की तुलना में कुछ संभावित उत्तरों को खत्म करने की क्षमता भी दे सकती है.

कदम

3 का विधि 1:
फैक्टरिंग नंबर और बुनियादी बीजगणितीय अभिव्यक्ति
  1. छवि फैक्टर बीजगणितीय समीकरण चरण 1 शीर्षक
1. एकल संख्याओं पर लागू होने पर फैक्टरिंग की परिभाषा को समझें. फैक्टरिंग अवधारणात्मक रूप से सरल है, लेकिन, व्यावहारिक रूप से, जटिल समीकरणों पर लागू होने पर चुनौतीपूर्ण साबित हो सकता है. इस वजह से, सरल संख्याओं से शुरू करके फैक्टरिंग की अवधारणा से संपर्क करना सबसे आसान है, फिर अंततः अधिक उन्नत अनुप्रयोगों के लिए आगे बढ़ने से पहले सरल समीकरणों पर जाएं. एक दिया गया नंबर कारकों ऐसी संख्याएं हैं जो उस संख्या को देने के लिए गुणा करती हैं. उदाहरण के लिए, 12 के कारक 1, 12, 2, 6, 3 और 4 हैं, क्योंकि 1 × 12, 2 × 6, और 3 × 4 सभी बराबर 12.
  • इस बारे में सोचने का एक और तरीका यह है कि दिए गए नंबर के कारक संख्याएं हैं जिनके द्वारा यह है सम विभाजनीय.
  • क्या आप 60 के सभी कारक पा सकते हैं? हम विभिन्न प्रकार के उद्देश्यों के लिए संख्या 60 का उपयोग करते हैं (एक घंटे में मिनट, एक मिनट में सेकंड आदि).) क्योंकि यह संख्याओं की एक विस्तृत श्रृंखला द्वारा समान रूप से विभाजित है.
  • 60 के कारक 1, 2, 3, 4, 5, 6, 10, 12, 15, 20, 30, और 60 हैं.
  • फैक्टर बीजगणित समीकरण शीर्षक 2 शीर्षक वाली छवि
    2. समझें कि परिवर्तनीय अभिव्यक्तियों को भी फैक्टर किया जा सकता है. जैसे ही अकेले संख्याओं को फैक्टर किया जा सकता है, इसलिए भी संख्यात्मक गुणांक के साथ चर को फैक्टर किया जा सकता है. ऐसा करने के लिए, बस चर के गुणांक के कारकों को ढूंढें. यह जानना कि चर को फैक्टर करने के लिए बीजगणितीय समीकरणों को सरल बनाने के लिए उपयोगी है जो चर का एक हिस्सा हैं.
  • उदाहरण के लिए, चर 12x को 12 और x के कारकों के उत्पाद के रूप में लिखा जा सकता है. हम 12x 3 (4x), 2 (6x), आदि लिख सकते हैं., 12 के कारक जो हमारे उद्देश्यों के लिए सबसे अच्छे हैं.
  • हम 12x कारक तक भी जा सकते हैं कई बार. दूसरे शब्दों में, हमें 3 (4x) या 2 (6x) के साथ रुकने की ज़रूरत नहीं है - हम क्रमशः 3 (2 (2 एक्स) और 2 (3 (2 एक्स) देने के लिए 4x और 6x कारक कर सकते हैं. जाहिर है, ये दो अभिव्यक्ति समान हैं.
  • फैक्टर बीजगणितीय समीकरण चरण 3 शीर्षक वाली छवि
    3. फैक्टर बीजगणितीय समीकरणों के लिए गुणा की वितरक संपत्ति लागू करें. गुणांक के साथ अकेले संख्याओं और चर को कारक बनाने के तरीके के बारे में अपने ज्ञान का उपयोग करके, आप उन कारकों को ढूंढकर सरल बीजगणितीय समीकरणों को सरल बना सकते हैं जो कि बीजगणितीय समीकरण में संख्याओं और चरों में आम है. आमतौर पर, समीकरण को यथासंभव सरल बनाने के लिए, हम खोजने की कोशिश करते हैं सबसे बड़ा साझा कारक. गुणा की वितरक संपत्ति के कारण यह सरलीकरण प्रक्रिया संभव है, जो बताती है कि किसी भी संख्या के लिए ए, बी, और सी, ए (बी + सी) = एबी + एसी.
  • आइए एक उदाहरण समस्या का प्रयास करें. बीजगणितीय समीकरण 12 x + 6 को फैक्टर करने के लिए, पहले, आइए 12x और 6 के सबसे बड़े सामान्यीकरण को खोजने का प्रयास करें. 6 सबसे बड़ी संख्या है जो समान रूप से 12x और 6 दोनों में विभाजित होती है, इसलिए हम समीकरण को 6 (2x + 1) को सरल बना सकते हैं.
  • यह प्रक्रिया नकारात्मक और अंशों के समान समीकरणों पर भी लागू होती है. उदाहरण के लिए, एक्स / 2 + 4, 1/2 (x + 8), और -7x + -21 को सरलीकृत किया जा सकता है -7 (x + 3).
    • 3 का विधि 2:
    फैक्टरिंग क्वाड्रैटिक समीकरण
    1. फैक्टर बीजगणित समीकरण चरण 4 शीर्षक वाली छवि
    1. सुनिश्चित करें कि समीकरण द्विघात रूप में है (कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी = 0). द्विघात समीकरण फॉर्म एक्स + बीएक्स + सी = 0 के होते हैं, जहां ए, बी, और सी संख्यात्मक स्थिरांक होते हैं और ए बराबर नहीं होता है (ध्यान दें कि ए कर सकते हैं बराबर 1 या -1). यदि आपके पास एक वैरिएबल (एक्स) है जिसमें दूसरी शक्ति के लिए x की एक या अधिक शर्तें हैं, तो आप आमतौर पर मूल बीजगणितीय परिचालनों का उपयोग करके समीकरण में शर्तों को स्थानांतरित कर सकते हैं जो बराबर संकेत और कुल्हाड़ी के बराबर हो सकते हैं, आदि. दूसरी तरफ.
    • उदाहरण के लिए, आइए बीजगणितीय समीकरण पर विचार करें. 5x + 7x - 9 = 4x + x - 18 को x + 6x + 9 = 0 में सरलीकृत किया जा सकता है, जो कि वर्गबद्ध रूप में है.
    • एक्स की अधिक शक्तियों के साथ समीकरण, जैसे x, x, आदि. द्विघात समीकरण नहीं हो सकते. वे घन समीकरण, क्वार्टिक समीकरण, और इसी तरह, जब तक कि समीकरण को 2 की शक्ति के ऊपर एक्स की इन शर्तों को खत्म करने के लिए सरल नहीं किया जा सकता है.
  • फैक्टर बीजगणितीय समीकरण शीर्षक 5 शीर्षक 5
    2. वर्गबद्ध समीकरणों में जहां ए = 1, फैक्टर (एक्स + डी) (एक्स + ई), जहां डी × ई = सी और डी + ई = बी. यदि आपका द्विघात समीकरण यह x + bx + c = 0 (दूसरे शब्दों में, यदि x शब्द = 1 के गुणांक) में है, तो यह संभव है (लेकिन गारंटी नहीं) कि अपेक्षाकृत सरल शॉर्टकट का उपयोग कारक के लिए किया जा सकता है समीकरण. दो संख्याएं खोजें जो दोनों को गुणा करने के लिए गुणा करें तथा बनाने में जोड़ें b. एक बार जब आप इन दो संख्याओं को डी और ई पाते हैं, तो उन्हें निम्न अभिव्यक्ति में रखें: (x + d) (x + e). इन दो शर्तों, जब एक साथ गुणा किया जाता है, तो अपने वर्गबद्ध समीकरण का उत्पादन - दूसरे शब्दों में, वे आपके वर्गबद्ध समीकरण के कारक हैं.
  • उदाहरण के लिए, आइए वर्गबद्ध समीकरण x + 5x + 6 = 0 पर विचार करें. 3 और 2 6 बनाने के लिए एक साथ गुणा करें और 5 बनाने के लिए भी जोड़ें, इसलिए हम इस समीकरण को सरल बना सकते हैं (x + 3) (x + 2).
  • इस मूल शॉर्टकट पर मामूली बदलाव समीकरण में मामूली भिन्नताओं के लिए मौजूद हैं:
  • यदि वर्गबद्ध समीकरण फॉर्म एक्स-बीएक्स + सी में है, तो आपका उत्तर इस फॉर्म में है: (x - _) (x - _).
  • यदि यह फॉर्म x + bx + c में है, तो आपका उत्तर इस तरह दिखता है: (x + _) (x + _).
  • यदि यह फॉर्म एक्स-बीएक्स-सी में है, तो आप जवाब फॉर्म में हैं (x + _) (x - _).
  • नोट: रिक्त स्थान में संख्या भिन्न या दशमलव हो सकती है. उदाहरण के लिए, समीकरण x + (21/2) x + 5 = 0 कारक (x + 10) (x + 1/2).
  • फैक्टर बीजगणितीय समीकरण शीर्षक 6 शीर्षक वाली छवि
    3. यदि संभव हो, निरीक्षण द्वारा कारक. मान लीजिए या नहीं, जटिल वर्गिक समीकरणों के लिए, फैक्टरिंग के स्वीकृत साधनों में से एक बस समस्या की जांच करने के लिए है, फिर जब तक आप सही नहीं पाते हैं तब तक संभावित उत्तरों पर विचार करें. इसे निरीक्षण द्वारा फैक्टरिंग के रूप में भी जाना जाता है. यदि समीकरण फॉर्म एक्स + बीएक्स + सी और ए में है>1, आपका फैक्टर उत्तर फॉर्म (डीएक्स +/- _) (EX +/- _) में होगा, जहां डी और ई नॉनज़रो न्यूमेरिकल कॉन्स्टेंट हैं जो एक बनाने के लिए गुणा करते हैं. या तो d या e (या दोनों) कर सकते हैं संख्या 1 हो, हालांकि यह जरूरी नहीं है. यदि दोनों 1 हैं, तो आपने अनिवार्य रूप से ऊपर वर्णित शॉर्टकट का उपयोग किया है.
  • आइए एक उदाहरण समस्या पर विचार करें. 3x - 8x + 4 पहले डरावना लगता है. हालांकि, एक बार जब हम महसूस करते हैं कि 3 में केवल दो कारक हैं (3 और 1), यह आसान हो जाता है, क्योंकि हम जानते हैं कि हमारा उत्तर फॉर्म में होना चाहिए (3x +/- _) (x +/- _). इस मामले में, रिक्त स्थान दोनों में -2 को जोड़ना सही उत्तर देता है. -2 × 3x = -6x और -2 × x = -2x. -6x और -2x -8x में जोड़ें. -2 × -2 = 4, इसलिए हम देख सकते हैं कि कोष्ठकों में फैक्टर शब्द मूल समीकरण बनने के लिए गुणा करते हैं.
  • फैक्टर बीजगणितीय समीकरण चरण 7 शीर्षक वाली छवि
    4. वर्ग को पूरा करके हल करें. कुछ मामलों में, एक विशेष बीजगणितीय पहचान का उपयोग करके वर्गबद्ध समीकरणों को जल्दी और आसानी से फैक्टर किया जा सकता है. फॉर्म एक्स + 2 एक्सएच + एच = (एक्स + एच) के किसी भी वर्गबद्ध समीकरण. इसलिए, यदि, आपके समीकरण में, आपका बी मान आपके सी मूल्य के वर्ग रूट से दोगुना है, तो आपके समीकरण को फैक्टर किया जा सकता है (एक्स + (एसक्यूआरटी (सी))).
  • उदाहरण के लिए, समीकरण x + 6x + 9 इस फॉर्म को फिट करता है. 3 9 और 3 × 2 है 6 है. तो, हम जानते हैं कि इस समीकरण का एक तथ्यात्मक रूप (x + 3) (x + 3), या (x + 3) है.
  • फैक्टर बीजगणित समीकरण चरण 8 शीर्षक वाली छवि
    5. द्विघात समीकरणों को हल करने के लिए कारकों का उपयोग करें. इस बात पर ध्यान दिए बिना कि आप अपने वर्गिक अभिव्यक्ति को कैसे फैक्टर करते हैं, एक बार जब यह फैक्टर होता है, तो आप प्रत्येक कारक को शून्य और हल करने के बराबर प्रत्येक कारक को सेट करके x के मूल्य के लिए संभावित उत्तर पा सकते हैं. चूंकि आप एक्स के मूल्यों की तलाश कर रहे हैं जो आपके समीकरण को शून्य के बराबर कारण देता है, x का मान जो आपके कारकों में से किसी एक को बराबर बनाता है वह आपके वर्गबद्ध समीकरण के लिए एक संभावित उत्तर है.
  • आइए समीकरण x + 5x + 6 = 0 पर लौटें. इस समीकरण में (x + 3) (x + 2) = 0. यदि कोई कारक 0 के बराबर होता है, तो पूरे समीकरण 0 के बराबर होता है, इसलिए एक्स के लिए हमारे संभावित उत्तरों संख्याएं हैं जो (x + 3) और (x + 2) बराबर 0 हैं. ये संख्या क्रमशः -3 और -2 हैं.
  • फैक्टर बीजगणित समीकरण चरण 9 शीर्षक वाली छवि
    6. अपने उत्तरों की जांच करें - उनमें से कुछ बाहरी हो सकते हैं! जब आपको x के लिए आपके संभावित उत्तर मिलते हैं, तो उन्हें अपने मूल समीकरण में वापस प्लग करें यह देखने के लिए कि क्या वे मान्य हैं. कभी-कभी, जवाब मिलते हैं नहीं वापस प्लग इन में मूल समीकरण के बराबर शून्य के कारण. हम इन उत्तरों को बुलाते हैं बाहरी और उन्हें अवहेलना.
  • चलो प्लग -2 और -3 इनक्स + 5x + 6 = 0. पहला, -2:
  • (-2) + 5 (-2) + 6 = 0
  • 4 + -10 + 6 = 0
  • 0 = 0. यह सही है, इसलिए -2 एक वैध उत्तर है.
  • अब, आइए कोशिश करें -3:
  • (-3) + 5 (-3) + 6 = 0
  • 9 + -15 + 6 = 0
  • 0 = 0. यह भी सही है, इसलिए -3 भी एक वैध उत्तर है.
    • 3 का विधि 3:
    समीकरणों के अन्य रूपों को फैक्टर करना
    1. छवि फैक्टर बीजगणित समीकरण चरण 10 शीर्षक
    1. यदि समीकरण फॉर्म ए-बी में है, तो इसे (ए + बी) (ए-बी). बुनियादी क्वाड्रैटिक्स की तुलना में दो चर कारक के साथ समीकरण. किसी भी समीकरण ए-बी के लिए जहां ए और बी बराबर नहीं है 0, समीकरण कारक (ए + बी) (ए-बी).
    • उदाहरण के लिए, समीकरण 9x - 4y = (3x + 2y) (3x - 2y).
  • फैक्टर बीजगणितीय समीकरण शीर्षक 11 शीर्षक वाली छवि
    2. यदि समीकरण एक + 2AB + B के रूप में है, तो इसे (ए + बी). ध्यान दें कि, यदि त्रिकोणीय रूप में है-2 एबी + बी, फैक्टर फॉर्म थोड़ा अलग है: (ए-बी).
  • समीकरण 4x + 8xy + 4y को 4x + (2 × 2 × 2) xy + 4y के रूप में फिर से लिखा जा सकता है. अब हम देख सकते हैं कि यह सही रूप में है, इसलिए हम विश्वास के साथ कह सकते हैं कि हमारे समीकरण कारक (2x + 2y)
  • छवि फैक्टर बीजगणित समीकरण चरण 12 शीर्षक
    3. यदि समीकरण फॉर्म ए-बी में है, तो इसे (ए-बी) (ए + एबी + बी). अंत में, यह उल्लेख करता है कि क्यूबिक्स और यहां तक ​​कि उच्च-आदेश समीकरणों को भी फैक्टर किया जा सकता है, हालांकि फैक्टरिंग प्रक्रिया जल्दी से जटिल रूप से जटिल हो जाती है.
  • उदाहरण के लिए, 8x - 27 वाई कारक (2x - 3y) (4x + ((2x) (3Y)) + 9Y)

    • वीडियो

    इस सेवा का उपयोग करके, कुछ जानकारी YouTube के साथ साझा की जा सकती है.

    टिप्स

    ए-बी कारक योग्य है, ए + बी फैक्टरबल नहीं है.
  • याद रखें कि स्थिरांक कैसे करें- यह मदद कर सकता है.
  • फैक्टरिंग प्रक्रिया में भिन्नताओं से सावधान रहें और उनके साथ सही और ध्यान से काम करें.
  • यदि आपके पास फॉर्म एक्स + बीएक्स + (बी / 2) में एक त्रिकोणीय है, तो फैक्टर फॉर्म है (एक्स + (बी / 2)). (आपको वर्ग पूरा करते समय यह स्थिति हो सकती है.)
  • याद रखें कि A0 = 0 (शून्य-उत्पाद संपत्ति).

    • चीजें आप की आवश्यकता होगी

    • कागज़
    • पेंसिल
    • गणित पुस्तक (यदि आवश्यक हो)
    सामाजिक नेटवर्क पर साझा करें:
    समान