समकक्ष अंश कैसे खोजें

यदि उनके पास समान मूल्य है तो दो अंश बराबर हैं. एक अंश को समकक्ष में बदलने के तरीके को जानना एक आवश्यक गणित कौशल है जो बुनियादी बीजगणित से उन्नत कैलकुस तक सब कुछ के लिए आवश्यक है. इस आलेख में समकक्ष अंश समीकरणों को हल करने के लिए बुनियादी गुणा और विभाजन से समकक्ष भिन्नताओं की गणना करने के कई तरीकों को शामिल किया जाएगा.

कदम

5 का विधि 1:
समतुल्य अंशों का निर्माण
  1. शीर्षक वाली छवि समकक्ष अंशों को खोजें चरण 1
1. एक ही संख्या से संख्यात्मक और denominator गुणा करें. दो भिन्नताएं जो अलग-अलग हैं लेकिन समकक्ष हैं, परिभाषा, संख्याकार और संप्रदायों जो एक दूसरे के गुणक हैं. दूसरे शब्दों में, एक ही संख्या से एक अंश के संख्यात्मक और denominator को गुणा करना एक समतुल्य अंश का उत्पादन करेगा. हालांकि नए अंश में संख्या अलग हो जाएगी, हालांकि अंशों में समान मूल्य होगा.
  • उदाहरण के लिए, यदि हम अंश 4/8 लेते हैं और संख्यात्मक और denominator दोनों को 2 से गुणा करते हैं, हमें (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16 मिलता है. ये दो अंश बराबर हैं.
  • (4 × 2) / (8 × 2) अनिवार्य रूप से 4/8 × 2/2 के समान ही है याद रखें कि दो भिन्नताओं को गुणा करते समय, हम गुणा करते हैं, जिसका अर्थ संख्या संख्यात्मक और denominator को denominator के लिए.
  • ध्यान दें कि 2/2 बराबर 1 जब आप विभाजन करते हैं. इस प्रकार, यह देखना आसान है कि 4/8 और 8/16 क्यों 4/8 × (2/2) = 4/8 को गुणा करने के बाद समकक्ष हैं. वैसे ही यह कहना उचित है कि 4/8 = 8/16.
  • किसी दिए गए अंश के बराबर अंशों की एक अनंत संख्या होती है. आप किसी भी पूरे नंबर से अंकक और denominator गुणा कर सकते हैं, इससे कोई फर्क नहीं पड़ता कि समकक्ष अंश प्राप्त करने के लिए कितना बड़ा या छोटा.
  • शीर्षक वाली छवि समकक्ष अंशों को खोजें चरण 2
    2. एक ही संख्या से संख्यात्मक और denominator को विभाजित करें. गुणा की तरह, विभाजन का उपयोग एक नया अंश खोजने के लिए भी किया जा सकता है जो आपके प्रारंभिक अंश के बराबर है. समकक्ष अंश प्राप्त करने के लिए बस एक ही संख्या से अंश के संख्यात्मक और एक अंश के संप्रदाय को विभाजित करें. इस प्रक्रिया के लिए एक चेतावनी है - परिणामी अंश में संख्यात्मक और denominator दोनों में पूर्ण संख्या होनी चाहिए.
  • उदाहरण के लिए, चलो 4/8 फिर से देखें. यदि, गुणा करने के बजाय, हम दोनों को संख्या और denominator दोनों को विभाजित करते हैं, हम (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4 मिलता है. 2 और 4 दोनों पूरी संख्याएं हैं, इसलिए यह समकक्ष अंश मान्य है.
    • 5 का विधि 2:
    समकक्ष निर्धारित करने के लिए मूल गुणा का उपयोग करना
    1. शीर्षक वाली छवि समकक्ष अंशों को चरण 3 खोजें
    1. उस संख्या को ढूंढें जिसके द्वारा छोटे denominator को बड़े denominator बनाने के लिए गुणा करने की आवश्यकता है. अंशों के बारे में कई समस्याओं में यह निर्धारित करना शामिल है कि दो अंश बराबर हैं या नहीं. इस संख्या की गणना करके, आप समानताओं को निर्धारित करने के लिए एक ही शर्तों में भिन्नता डालना शुरू कर सकते हैं.
    • उदाहरण के लिए, अंश 4/8 और 8/16 फिर से लें. छोटा denominator 8 है, और हमें उस संख्या x2 को गुणा करना होगा ताकि बड़े denominator बनाने के लिए, जो 16 है. इसलिए, इस मामले में संख्या 2 है.
    • अधिक कठिन संख्याओं के लिए, आप छोटे denominator द्वारा बस बड़े denominator को विभाजित कर सकते हैं. इस मामले में 16 8 से विभाजित, जो अभी भी हमें 2 प्राप्त करता है.
    • संख्या हमेशा पूरी संख्या नहीं हो सकती है. उदाहरण के लिए, यदि denominators 2 और 7 थे, तो संख्या 3 होगी.5.
  • शीर्षक वाली छवि समकक्ष अंशों को चरण 4 खोजें
    2. पहले चरण से संख्या द्वारा निचले शब्दों में व्यक्त अंश के संख्यात्मक और संप्रदाय को गुणा करें. दो भिन्नताएं जो अलग-अलग हैं लेकिन समकक्ष हैं, परिभाषा के अनुसार, Numerators और denominators जो एक दूसरे के गुणक हैं. दूसरे शब्दों में, एक ही संख्या से एक अंश के संख्यात्मक और denominator को गुणा करना एक समतुल्य अंश का उत्पादन करेगा. हालांकि इस नए अंश में संख्या अलग हो जाएगी, हालांकि अंशों में समान मूल्य होगा.
  • उदाहरण के लिए, यदि हम चरण 1 से अंश 4/8 लेते हैं और हमारे पहले निर्धारित संख्या 2 द्वारा संख्यात्मक और denominator दोनों गुणा करते हैं, हम (4 × 2) / (8 × 2) = 8/16. इस प्रकार यह साबित करना कि ये दो अंश बराबर हैं.
    • 5 का विधि 3:
    समकक्ष निर्धारित करने के लिए मूल विभाजन का उपयोग करना
    1. शीर्षक वाली छवि समकक्ष अंशों को चरण 5 खोजें
    1. प्रत्येक अंश को दशमलव संख्या के रूप में गणना करें. चर के बिना सरल अंशों के लिए, आप समान रूप से प्रत्येक अंश को समान रूप से निर्धारित करने के लिए दशमलव संख्या के रूप में व्यक्त कर सकते हैं. चूंकि प्रत्येक अंश वास्तव में एक विभाजन समस्या है, इसलिए यह समानता निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका है.
    • उदाहरण के लिए, हमारे पहले इस्तेमाल किए गए 4/8 को लें. अंश 4/8 8 से विभाजित 4 कहने के बराबर है, जो 4/8 = 0.5. आप अन्य उदाहरण के लिए भी हल कर सकते हैं, जो 8/16 = 0 है.5. एक अंश की शर्तों के बावजूद, वे बराबर हैं यदि दो संख्याएं बिल्कुल वही हैं जब दशमलव के रूप में व्यक्त की जाती है.
    • याद रखें कि समानता की कमी स्पष्ट हो जाने से पहले दशमलव अभिव्यक्ति कई अंकों पर हो सकती है. एक बुनियादी उदाहरण के रूप में, 1/3 = 0.333 दोहराते हुए जबकि 3/10 = 0.3. एक से अधिक अंकों का उपयोग करके, हम देखते हैं कि ये दो अंश बराबर नहीं हैं.
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    2. समकक्ष अंश प्राप्त करने के लिए एक ही संख्या से अंश के संख्यात्मक और संप्रदाय को विभाजित करें. अधिक जटिल भिन्नताओं के लिए, विभाजन विधि के लिए अतिरिक्त चरणों की आवश्यकता होती है. गुणा विधि के साथ, आप समकक्ष अंश प्राप्त करने के लिए एक ही संख्या से अंश के संख्यात्मक और एक अंश के संप्रदाय को विभाजित कर सकते हैं. इस प्रक्रिया के लिए एक चेतावनी है. परिणामी अंश में पूर्ण संख्या दोनों संख्याओं और denominator मान्य होने के लिए होनी चाहिए.
  • उदाहरण के लिए, चलो 4/8 फिर से देखें. यदि, गुणा करने के बजाय, हम विभाजन 2 द्वारा संख्यात्मक और denominator दोनों, हम (4 ÷ 2) / (8 ÷ 2) = 2/4. 2 और 4 दोनों पूरी संख्याएं हैं, इसलिए यह समकक्ष अंश मान्य है.
  • शीर्षक शीर्षक समकक्ष अंशों को खोजें चरण 7
    3. अंशों को उनके निम्नतम शब्दों में कम करें. अधिकांश अंशों को आम तौर पर अपने सबसे कम शर्तों में व्यक्त किया जाना चाहिए, और आप अपने सबसे बड़े सामान्य कारक (जीसीएफ) द्वारा विभाजित करके भिन्नताओं को अपने सरल शब्दों में परिवर्तित कर सकते हैं. यह चरण समान रूप से एक ही संप्रदाय के रूप में परिवर्तित करके समतुल्य अंशों को व्यक्त करने के एक ही तर्क द्वारा संचालित होता है, लेकिन यह विधि प्रत्येक अंश को अपने सबसे कम अभिव्यक्त शर्तों को कम करने की कोशिश करती है.
  • जब कोई अंश अपने सबसे सरल शब्दों में होता है, तो इसका संख्यात्मक और denominator दोनों के रूप में छोटे होते हैं. न तो किसी भी पूरे नंबर से विभाजित किया जा सकता है ताकि कुछ भी छोटा हो सके. एक अंश को बदलने के लिए नहीं एक समकक्ष रूप में सबसे सरल शब्दों में है, हम उनके द्वारा संख्यात्मक और denominator को विभाजित करते हैं सबसे बड़ा साझा कारक.
  • संख्यात्मक और डेनोमिनेटर का सबसे बड़ा आम कारक (जीसीएफ) सबसे बड़ा नंबर है जो पूरे नंबर के परिणाम देने के लिए दोनों में विभाजित होता है. तो, हमारे 4/8 उदाहरण में, तब से 4 सबसे बड़ी संख्या है जो समान रूप से 4 और 8 में विभाजित होती है, हम इसे सरलतम शर्तों में प्राप्त करने के लिए 4 से हमारे अंश के संख्यात्मक और denominator को विभाजित करेंगे. (4 ÷ 4) / (8 ÷ 4) = 1/2. 8/16 के हमारे अन्य उदाहरण के लिए, जीसीएफ 8 है, जिसके परिणामस्वरूप 1/2 में अंश की सबसे सरल अभिव्यक्ति के रूप में भी होता है.
    • 5 का विधि 4:
    एक चर के लिए हल करने के लिए क्रॉस गुणा का उपयोग करना
    1. शीर्षक वाली छवि समकक्ष अंश चरण 8 खोजें
    1. एक दूसरे के बराबर दो अंश निर्धारित करें. हम प्रयोग करते हैं क्रॉस गुणा गणित की समस्याओं के लिए जहां हम जानते हैं कि अंश बराबर हैं, लेकिन संख्याओं में से एक को एक चर (आमतौर पर x) के साथ प्रतिस्थापित किया गया है जिसके लिए हमें हल करना होगा. इस तरह के मामलों में, हम जानते हैं कि ये अंश बराबर हैं क्योंकि वे बराबर संकेत के विपरीत पक्षों पर एकमात्र शर्तें हैं, लेकिन अक्सर यह स्पष्ट नहीं होता है कि चर के लिए कैसे हल किया जाए. सौभाग्य से, क्रॉस गुणा के साथ, इन प्रकार की समस्याओं को हल करना आसान है.
  • शीर्षक वाली छवि समकक्ष अंशों को खोजें चरण 9
    2. दो समतुल्य अंशों को लें और समान रूप से समान रूप से गुणा करें "एक्स" आकार. दूसरे शब्दों में, आप एक अंश के संख्यात्मक को दूसरे के संप्रदाय से गुणा करते हैं और इसके विपरीत, फिर इन दो उत्तरों को एक-दूसरे के बराबर सेट करें और हल करें.
  • 4/8 और 8/16 के हमारे दो उदाहरण लें. इन दोनों में एक चर नहीं होता है, लेकिन हम अवधारणा को साबित कर सकते हैं क्योंकि हम पहले से ही जानते हैं कि वे समतुल्य हैं. क्रॉस गुणा करके, हमें 4 x 16 = 8 x 8, या 64 = 64 मिलता है, जो स्पष्ट रूप से सच है. यदि दो संख्याएँ समान नहीं हैं, तो अंश बराबर नहीं हैं.
  • शीर्षक शीर्षक समकक्ष अंशों को खोजें चरण 10
    3. एक चर का परिचय दें. चूंकि क्रॉस गुणा समतुल्य अंशों को निर्धारित करने का सबसे आसान तरीका है जब आपको एक चर के लिए हल करना होगा, आइए एक चर जोड़ें.
  • उदाहरण के लिए, आइए समीकरण 2 / x = 10/13 पर विचार करें. गुणा करने के लिए, हम एक्स द्वारा 2 से 13 और 10 गुणा करते हैं, फिर हमारे उत्तर एक-दूसरे के बराबर सेट करें:
  • 2 × 13 = 26
  • 10 × x = 10x
  • 10x = 26. यहां से, हमारे चर के लिए एक जवाब प्राप्त करना सरल बीजगणित का मामला है. x = 26/10 = 2.6, प्रारंभिक समकक्ष अंश 2/2 बनाना.6 = 10/13.
  • शीर्षक वाली छवि समकक्ष अंश खोजें चरण 11
    4. एकाधिक चर या परिवर्तनीय अभिव्यक्तियों के साथ समीकरणों के लिए क्रॉस गुणा का उपयोग करें. क्रॉस गुणा के बारे में सबसे अच्छी चीजों में से एक यह है कि यह अनिवार्य रूप से उसी तरह काम करता है चाहे आप दो सरल अंशों (ऊपर के रूप में) या अधिक जटिल भिन्नताओं के साथ काम कर रहे हों. उदाहरण के लिए, यदि दोनों अंशों में चर होते हैं, तो आपको हल करने की प्रक्रिया के दौरान अंत में इन चर को खत्म करना होगा. इसी प्रकार, यदि आपके अंशों के संख्यात्मक या संप्रदायों में परिवर्तनीय अभिव्यक्ति (जैसे x + 1) होते हैं, तो बस "गुणा करना"द्वारा द्वारा वितरण संपत्ति का उपयोग करना और जैसा कि आप सामान्य रूप से हल करेंगे.
  • उदाहरण के लिए, आइए समीकरण ((x + 3) / 2) पर विचार करें = ((x + 1) / 4). इस मामले में, ऊपर के रूप में, हम क्रॉस गुणा द्वारा हल करेंगे:
  • (x + 3) × 4 = 4x + 12
  • (x + 1) × 2 = 2x + 2
  • 2x + 2 = 4x + 12, फिर हम दोनों पक्षों से 2x बाइबस्ट्रैक्टिंग समीकरण को सरल बना सकते हैं
  • 2 = 2x + 12, फिर हमें दोनों पक्षों से 12 घटाकर चर को अलग करना चाहिए
  • -10 = 2x, और x के लिए हल करने के लिए 2 से विभाजित करें
  • -5 = एक्स
    • 5 का विधि 5:
    चर के लिए हल करने के लिए द्विघात सूत्र का उपयोग करना
    1. शीर्षक वाली छवि समकक्ष अंश खोजें चरण 12
    1. दो अंशों को पार करें. समकक्ष समस्याओं के लिए जिनके लिए वर्गबद्ध सूत्र की आवश्यकता होती है, हम अभी भी क्रॉस गुणा का उपयोग करके शुरू करते हैं. हालांकि, किसी भी क्रॉस गुणा जिसमें अन्य परिवर्तनीय शर्तों द्वारा परिवर्तनीय परिवर्तनों को गुणा करने में शामिल होता है, जिसके परिणामस्वरूप एक अभिव्यक्ति होती है जो आसानी से बीजगणित के माध्यम से हल नहीं की जा सकती है. इन तरह के मामलों में, आपको तकनीकों का उपयोग करने की आवश्यकता हो सकती है फैक्टरिंग और / या द्विघात सूत्र.
    • उदाहरण के लिए, आइए समीकरण देखें ((x +1) / 3) = (4 / (2x - 2)). सबसे पहले, चलो गुणा करें:
    • (x + 1) × (2x - 2) = 2x + 2x -2x - 2 = 2x - 2
    • 4 × 3 = 12
    • 2x - 2 = 12.
  • शीर्षक वाली छवि समकक्ष अंशों को खोजें चरण 13
    2. समीकरण को एक वर्गबद्ध समीकरण के रूप में व्यक्त करें. इस बिंदु पर, हम इस समीकरण को वर्गबद्ध रूप (कुल्हाड़ी + बीएक्स + सी = 0) में व्यक्त करना चाहते हैं, जो हम शून्य के बराबर समीकरण सेट करके करते हैं. इस मामले में, हम दोनों पक्षों से get2x - 14 = 0 के लिए 12 घटाते हैं.
  • कुछ मान बराबर हो सकते हैं. हालांकि 2x - 14 = 0 हमारे समीकरण का सबसे सरल रूप है, वास्तविक वर्गिक समीकरण 2x + 0x + (-14) = 0 है. यह शायद कुछ मान 0 होने पर भी वर्गिक समीकरण के रूप को दर्पण करने के लिए जल्दी से मदद करेगा.
  • शीर्षक वाली छवि समकक्ष अंशों को खोजें चरण 14
    3. अपने वर्गबद्ध समीकरण से वर्गबद्ध सूत्र में संख्याओं को प्लग करके हल करें. वर्गिक सूत्र (x = (-b +/- √ (b - 4ac)) / 2a) इस बिंदु पर हमारे मूल्य X के लिए हमें हल करने में हमारी सहायता करेगा. सूत्र की लंबाई से भयभीत मत हो. आप बस चरण दो में अपने वर्गबद्ध समीकरण से मूल्य ले रहे हैं और उन्हें हल करने से पहले उचित स्थानों में प्लग कर रहे हैं.
  • x = (-b +/- √ (B - 4AC)) / 2A. हमारे समीकरण में, 2x - 14 = 0, ए = 2, बी = 0, और सी = -14.
  • x = (-0 +/- √ (0 - 4 (2) (- 14))) / 2 (2)
  • x = (+/- √ (0 - -112)) / 2 (2)
  • x = (+/- √ (112)) / 2 (2)
  • x = (+/- 10.58/4)
  • एक्स = +/ - 2.64
  • शीर्षक शीर्षक समकक्ष अंशों को खोजें चरण 15
    4. X मान को अपने वर्गबद्ध समीकरण में वापस प्लग करके अपना उत्तर देखें. चरण दो से अपने वर्गबद्ध समीकरण में एक्स के गणना मूल्य को प्लग करके, आप आसानी से निर्धारित कर सकते हैं कि क्या आप सही उत्तर में पहुंचे हैं. इस उदाहरण में, आप दोनों 2 प्लग करेंगे.64 और -2.64 मूल वर्गबद्ध समीकरण में.

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    टिप्स

    अंशों को समकक्ष रूपों में परिवर्तित करना वास्तव में 1 से गुणा करने का एक रूप है. 1/2 से 2/4 को परिवर्तित करने में, संख्यात्मक और denominator को 2 से गुणा करना 1/2 से 2/2 गुणा करने के समान है, जो 1 के बराबर है.
  • यदि वांछित है, तो मिश्रित संख्याओं को परिवर्तित करने के लिए अनुचित अंशों को रूपांतरित करने के लिए परिवर्तित करें. जाहिर है, आप जो भी अंश नहीं आते हैं वह ऊपर हमारे 4/8 उदाहरण के रूप में परिवर्तित करना आसान होगा. उदाहरण के लिए, मिश्रित संख्या (ई).जी. 1 3/4, 2 5/8, 5 2/3, आदि.) रूपांतरण प्रक्रिया को थोड़ा और जटिल बना सकते हैं. यदि आपको एक मिश्रित संख्या को समकक्ष अंश में परिवर्तित करने की आवश्यकता है, तो आप इसे दो तरीकों से कर सकते हैं: मिश्रित संख्या को अनुचित अंश में बदलकर, फिर सामान्य रूप से परिवर्तित होकर, या मिश्रित संख्या को बनाए रखते हुए और एक उत्तर के रूप में एक मिश्रित संख्या प्राप्त करके.
  • अनुचित अंश में कनवर्ट करने के लिए, मिश्रित संख्या के पूरे नंबर घटक को आंशिक घटक के संप्रदाय से गुणा करें और फिर इसे संख्या में जोड़ें. उदाहरण के लिए, 1 2/3 = ((1 × 3) + 2) / 3 = 5/3. फिर, यदि वांछित है, तो आप आवश्यकतानुसार परिवर्तित कर सकते हैं. उदाहरण के लिए, 5/3 × 2/2 = 10/6, जो अभी भी 1 2/3 के बराबर है.
  • हालाँकि, हम नहीं है ऊपर के रूप में एक अनुचित अंश में परिवर्तित करने के लिए. यदि हम नहीं करते हैं, तो हम पूरे नंबर घटक को अनदेखा करते हैं, अकेले आंशिक घटक को परिवर्तित करते हैं, फिर पूरे नंबर घटक को अपरिवर्तित में वापस जोड़ें. उदाहरण के लिए, 3 4/16 के लिए, हम सिर्फ 4/16 देखेंगे. 4/16 ÷ 4/4 = 1/4. तो, हमारे पूरे नंबर घटक को वापस जोड़कर, हमें एक नया मिश्रित संख्या मिलती है, 3 1/4.

    • चेतावनी

    समतुल्य अंश प्राप्त करने के लिए गुणा और विभाजन कार्य क्योंकि संख्या 1 (2/2, 3/3, आदि के आंशिक रूपों द्वारा गुणा और विभाजन करना.) उत्तर दें जो परिभाषा के अनुसार प्रारंभिक अंश के बराबर हैं. अतिरिक्त और घटाव इस संभावना को अनुमति नहीं देता.
  • यद्यपि आप अंशों को गुणा करते समय संख्यात्मक और denominators को एक साथ गुणा करते हैं, फिर भिन्नताओं को जोड़ने या घटाने के दौरान आप denominators को जोड़ या घटाते हैं.
  • उदाहरण के लिए, ऊपर, हमने पाया कि 4/8 ÷ 4/4 = 1/2 . अगर हम इसके बजाय जोड़ा 4/4 तक, हम एक पूरी तरह से अलग जवाब प्राप्त करेंगे. 4/8 + 4/4 = 4/8 + 8/8 = 12/8 = 1 1/2 या 3/2, जिनमें से कोई भी 4/8 के बराबर नहीं है.
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