एक फ़ंक्शन के डोमेन और रेंज को कैसे ढूंढें

प्रत्येक कार्य में दो प्रकार के चर होते हैं: स्वतंत्र चर और आश्रित चर, जिनके मूल्य स्वतंत्र रूप से स्वतंत्र चर पर "निर्भर करते हैं". उदाहरण के लिए, समारोह में y = एफ(एक्स) = 2एक्स + y, एक्स स्वतंत्र है और y निर्भर है (दूसरे शब्दों में, y का एक समारोह है एक्स). किसी दिए गए स्वतंत्र चर के लिए मान्य मान एक्स सामूहिक रूप से "डोमेन" कहा जाता है."दिए गए आश्रित चर के लिए मान्य मान y सामूहिक रूप से "रेंज" कहा जाता है."

कदम

3 का भाग 1:
एक फ़ंक्शन का डोमेन ढूंढना
  1. शीर्षक वाली छवि एक फ़ंक्शन चरण 1 का डोमेन और रेंज खोजें
1. उस फ़ंक्शन का प्रकार निर्धारित करें जिसके साथ आप काम कर रहे हैं. फ़ंक्शन का डोमेन सभी एक्स-वैल्यू (क्षैतिज धुरी) है जो आपको मान्य वाई-वैल्यू आउटपुट देगा. फ़ंक्शन समीकरण द्विघात, एक अंश, या जड़ें हो सकती है. फ़ंक्शन के डोमेन की गणना करने के लिए, आपको पहले समीकरण के भीतर शर्तों का मूल्यांकन करना होगा.
  • एक वर्गबद्ध फ़ंक्शन में फॉर्म एक्स + बीएक्स + सी: एफ (एक्स) = 2 एक्स + 3 एक्स + 4 है
  • अंशों के साथ कार्यों के उदाहरणों में शामिल हैं: f (x) = (/)एक्स), f (x) = /(x - 1), आदि.
  • एक रूट के साथ कार्यों में शामिल हैं: f (x) = √x, f (x) = √ (x + 1), f (x) = √-x, आदि.
  • फ़ंक्शन चरण 2 का डोमेन और रेंज शीर्षक वाली छवि
    2. उचित नोटेशन के साथ डोमेन लिखें. किसी फ़ंक्शन के डोमेन को लिखना दोनों कोष्ठक का उपयोग शामिल है [, और कोष्ठक (). जब आप डोमेन में संख्या शामिल होते हैं तो आप एक ब्रैकेट का उपयोग करते हैं और एक कोष्ठक का उपयोग करते हैं जब डोमेन में संख्या शामिल नहीं होती है. पत्र यू एक यूनियन को इंगित करता है जो एक डोमेन के कुछ हिस्सों को जोड़ता है जिसे अंतराल से अलग किया जा सकता है.
  • उदाहरण के लिए, का एक डोमेन [-2, 10) यू (10, 2] -2 और 2 शामिल हैं, लेकिन इसमें संख्या 10 शामिल नहीं है.
  • हमेशा कोष्ठक का उपयोग करें यदि आप अनंत प्रतीक का उपयोग कर रहे हैं, ∞. ऐसा इसलिए है क्योंकि अनंत एक अवधारणा है और एक संख्या नहीं है.
  • एक फ़ंक्शन चरण 3 का डोमेन और रेंज शीर्षक वाली छवि
    3. द्विघात समीकरण का एक ग्राफ बनाएं. वर्गबद्ध समीकरण एक परवलयिक ग्राफ बनाते हैं जो ऊपर या नीचे इंगित करता है. यह देखते हुए कि पैराबोला एक्स-अक्ष पर असीम रूप से बाहर की ओर जारी रहेगा, अधिकांश वर्गबद्ध फ़ंक्शन का डोमेन सभी वास्तविक संख्या है. एक और तरीका कहा, एक वर्गबद्ध समीकरण में संख्या रेखा पर सभी एक्स-मान शामिल हैं, जो अपना डोमेन बनाते हैं आर (सभी वास्तविक संख्याओं के लिए प्रतीक).
  • फ़ंक्शन का एक विचार प्राप्त करने के लिए किसी भी एक्स-मान का चयन करें और इसे फ़ंक्शन में प्लग करें. इस एक्स-वैल्यू के साथ फ़ंक्शन को हल करना एक y- मान आउटपुट करेगा. ये x- और y-मान फ़ंक्शन के ग्राफ़ का समन्वित (x, y) हैं.
  • इस समन्वय को प्लॉट करें और दूसरे एक्स-मान के साथ प्रक्रिया को दोहराएं.
  • इस फैशन में कुछ मूल्यों की साजिश रचने से आपको द्विघात कार्य के आकार का एक सामान्य विचार देना चाहिए.
  • एक फ़ंक्शन चरण 4 का डोमेन और रेंज शीर्षक वाली छवि
    4. यदि यह एक अंश है, तो शून्य के बराबर denominator सेट करें. एक अंश के साथ काम करते समय, आप कभी भी शून्य से विभाजित नहीं कर सकते. शून्य के बराबर denominator सेट करके और एक्स के लिए हल करके, आप उन मानों की गणना कर सकते हैं जिन्हें फ़ंक्शन में बाहर रखा जाएगा.
  • उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन f (x) = / के डोमेन की पहचान करें(x - 1).
  • इस फ़ंक्शन का denominator (x - 1) है.
  • इसे शून्य के बराबर सेट करें और x के लिए हल करें: x - 1 = 0, x = 1.
  • डोमेन लिखें: इस फ़ंक्शन के डोमेन में 1 शामिल नहीं हो सकता है, लेकिन 1 के अलावा सभी वास्तविक संख्याएं शामिल नहीं हो सकती हैं- इसलिए, डोमेन है (-∞, 1) यू (1, ∞).
  • (-∞, 1) यू (1, ∞) को 1 को छोड़कर सभी वास्तविक संख्याओं के सेट के रूप में पढ़ा जा सकता है.अनंत प्रतीक, ∞, सभी वास्तविक संख्याओं का प्रतिनिधित्व करता है. इस मामले में, 1 से अधिक वास्तविक संख्या और एक से कम डोमेन में शामिल हैं.
  • एक फ़ंक्शन चरण 5 का डोमेन और रेंज शीर्षक वाली छवि
    5. यदि रूट फ़ंक्शन है, तो शून्य से अधिक या उसके बराबर होने के लिए रेडिकल के अंदर शर्तें सेट करें. आप एक नकारात्मक संख्या का वर्गमूल नहीं ले सकते- इसलिए, किसी भी एक्स-वैल्यू जो नकारात्मक संख्या की ओर जाता है उसे उस फ़ंक्शन के डोमेन से बाहर रखा जाना चाहिए.
  • उदाहरण के लिए: फ़ंक्शन f (x) = √ (x + 3) के डोमेन की पहचान करें.
  • कट्टरपंथी के भीतर शर्तें हैं (x + 3).
  • उन्हें शून्य से अधिक या बराबर सेट करें: (x + 3) ≥ 0.
  • एक्स के लिए हल करें: x ≥ -3.
  • इस फ़ंक्शन के डोमेन में -3 ​​से अधिक या बराबर सभी वास्तविक संख्याएं शामिल हैं- इसलिए, डोमेन [-3, ∞) है.
    • 3 का भाग 2:
    एक वर्गबद्ध समारोह की सीमा ढूँढना
    1. एक फ़ंक्शन चरण 6 का डोमेन और रेंज शीर्षक वाली छवि
    1. पुष्टि करें कि आपके पास एक वर्गबद्ध कार्य है. एक वर्गबद्ध फ़ंक्शन में फॉर्म एक्स + बीएक्स + सी: एफ (एक्स) = 2 एक्स + 3 एक्स + 4 है. एक ग्राफ पर एक वर्गबद्ध फ़ंक्शन का आकार पैराबोला ऊपर या नीचे इंगित करता है. आपके द्वारा काम कर रहे प्रकार के आधार पर एक फ़ंक्शन की सीमा की गणना करने के विभिन्न तरीके हैं.
    • रूट और अंश कार्यों जैसे अन्य कार्यों की सीमा की पहचान करने का सबसे आसान तरीका, ग्राफिंग कैलकुलेटर का उपयोग करके फ़ंक्शन का ग्राफ खींचना है.
  • एक फ़ंक्शन चरण 7 का डोमेन और रेंज शीर्षक वाली छवि
    2. फ़ंक्शन के कशेरुक का एक्स-वैल्यू खोजें. एक वर्गबद्ध समारोह का शीर्ष पैराबोला की नोक है. याद रखें, एक वर्गबद्ध समीकरण फॉर्म एक्स + बीएक्स + सी का है. एक्स-समन्वय को खोजने के लिए समीकरण x = -b / 2a का उपयोग करें. यह समीकरण मूल वर्गिक कार्य का व्युत्पन्न है जो शून्य ढलान के साथ समीकरण का प्रतिनिधित्व करता है (ग्राफ के शीर्ष पर, फ़ंक्शन की ढलान शून्य है).
  • उदाहरण के लिए, 3x + 6x -2 की सीमा खोजें.
  • कशेरुक के एक्स-समन्वय की गणना करें: एक्स = -बी / 2 ए = -6 / (2 * 3) = -1
  • फ़ंक्शन चरण 8 का डोमेन और रेंज शीर्षक वाला चित्र
    3. समारोह के कशेरुक के वाई-मान की गणना करें. कशेरुक के संबंधित वाई-वैल्यू की गणना करने के लिए एक्स-समन्वय को फ़ंक्शन में प्लग करें. यह वाई-वैल्यू फ़ंक्शन के लिए आपकी सीमा के किनारे को दर्शाता है.
  • गणना करें वाई-समन्वय: वाई = 3 एक्स + 6 एक्स - 2 = 3 (-1) + 6 (-1) -2 = -5.
  • इस समारोह का शीर्ष (-1, -5) है.
  • शीर्षक वाली छवि एक फ़ंक्शन चरण 9 के डोमेन और रेंज को खोजें
    4. कम से कम एक और एक्स-वैल्यू में प्लग करके पैराबोला की दिशा निर्धारित करें. किसी भी अन्य एक्स-मान को चुनें और इसी वाई-मान की गणना करने के लिए इसे फ़ंक्शन में प्लग करें. यदि वाई-वैल्यू वर्टेक्स से ऊपर है, तो पैराबोला + ∞ जारी है. यदि वाई-वैल्यू वर्टेक्स के नीचे है, तो पैराबोला जारी है.
  • एक्स-वैल्यू -2 का उपयोग करें- y = 3x + 6x - 2 = y = 3 (-2) + 6 (-2) - 2 = 12 -12 -2 = -2.
  • यह समन्वय (-2, -2) उत्पन्न करता है.
  • यह समन्वय आपको बताता है कि परवलोला वर्टेक्स (-1, -5) के ऊपर जारी है - इसलिए, सीमा में सभी वाई-मानों को शामिल किया गया है.
  • इस समारोह की सीमा [-5, ∞) है
  • एक फ़ंक्शन चरण 10 के डोमेन और रेंज का शीर्षक वाली छवि
    5. उचित नोटेशन के साथ रेंज लिखें. डोमेन की तरह, सीमा एक ही नोटेशन के साथ लिखी गई है. एक ब्रैकेट का उपयोग करें जब नंबर डोमेन में नंबर शामिल किया गया हो और एक कोष्ठक का उपयोग करें जब डोमेन में संख्या शामिल न हो. पत्र यू एक यूनियन को इंगित करता है जो एक डोमेन के कुछ हिस्सों को जोड़ता है जिसे अंतराल से अलग किया जा सकता है.
  • उदाहरण के लिए, की एक श्रृंखला [-2, 10) यू (10, 2] -2 और 2 शामिल हैं, लेकिन इसमें संख्या 10 शामिल नहीं है.
  • हमेशा कोष्ठक का उपयोग करें यदि आप अनंत प्रतीक का उपयोग कर रहे हैं, ∞.
    • 3 का भाग 3:
    ग्राफिक रूप से एक समारोह की सीमा ढूँढना
    1. शीर्षक वाली छवि एक फ़ंक्शन चरण 11 का डोमेन और रेंज खोजें
    1. फ़ंक्शन ग्राफ़ करें. अक्सर, यह केवल इसे ग्राफिंग करके एक फ़ंक्शन की सीमा को निर्धारित करना सबसे आसान है. कई रूट फ़ंक्शंस में (-∞, 0] या [0, + ∞) की एक श्रृंखला होती है क्योंकि बग़ल में पैराबोला का शीर्ष क्षैतिज, एक्स-अक्ष पर होता है. इस मामले में, फंक्शन सभी सकारात्मक वाई-मानों को शामिल करता है यदि पैराबोला ऊपर जाता है, या पैराबोला नीचे जाने पर सभी नकारात्मक वाई-मानों को शामिल करता है. अंश कार्यों में एसिम्प्टोट्स होंगे जो सीमा को परिभाषित करते हैं.
    • कुछ रूट फ़ंक्शन एक्स-अक्ष के ऊपर या नीचे शुरू होंगे. इस मामले में, रेंज को रूट फ़ंक्शन प्रारंभ बिंदु द्वारा निर्धारित किया जाता है. यदि पैराबोला वाई = -4 पर शुरू होता है और ऊपर जाता है, तो सीमा [-4, + ∞) है.
    • एक फ़ंक्शन को ग्राफ़ करने का सबसे आसान तरीका ग्राफ़िंग प्रोग्राम या ग्राफ़िंग कैलकुलेटर का उपयोग करना है.
    • यदि आपके पास ग्राफिंग कैलक्यूलेटर नहीं है, तो आप फ़ंक्शन में एक्स-मान प्लग करके और संबंधित वाई-मान प्राप्त करके ग्राफ का एक मोटा स्केच खींच सकते हैं. ग्राफ के आकार का विचार प्राप्त करने के लिए इन निर्देशांक को ग्राफ़ पर प्लॉट करें.
  • शीर्षक वाली छवि एक फ़ंक्शन चरण 12 का डोमेन और रेंज खोजें
    2. समारोह का न्यूनतम पाएं. एक बार जब आप फ़ंक्शन को रेखांकित कर लेंगे, तो आपको ग्राफ का निम्नतम बिंदु स्पष्ट रूप से देखने में सक्षम होना चाहिए. यदि कोई स्पष्ट न्यूनतम नहीं है, तो जानें कि कुछ कार्य जारी रहेगा-∞.
  • एक अंश समारोह में एसिम्पटोटे के अलावा सभी बिंदुओं को शामिल किया जाएगा. वे अक्सर (-∞, 6) u (6, ∞) जैसी हैं.
  • शीर्षक वाली छवि एक फ़ंक्शन चरण 13 की श्रेणी खोजें
    3. अधिकतम कार्य निर्धारित करें. फिर, ग्राफिंग के बाद, आप फ़ंक्शन के अधिकतम बिंदु की पहचान करने में सक्षम होना चाहिए. कुछ कार्यों को + ∞ पर जारी रहेगा और इसलिए, अधिकतम नहीं होगा.
  • शीर्षक वाली छवि डोमेन और एक फ़ंक्शन चरण 14 खोजें
    4. उचित नोटेशन के साथ रेंज लिखें. डोमेन की तरह, सीमा एक ही नोटेशन के साथ लिखी गई है. एक ब्रैकेट का उपयोग करें जब नंबर डोमेन में नंबर शामिल किया गया हो और एक कोष्ठक का उपयोग करें जब डोमेन में संख्या शामिल न हो. पत्र यू एक यूनियन को इंगित करता है जो एक डोमेन के कुछ हिस्सों को जोड़ता है जिसे अंतराल से अलग किया जा सकता है.
  • उदाहरण के लिए, की एक श्रृंखला [-2, 10) यू (10, 2] -2 और 2 शामिल हैं, लेकिन इसमें संख्या 10 शामिल नहीं है.
  • हमेशा कोष्ठक का उपयोग करें यदि आप अनंत प्रतीक का उपयोग कर रहे हैं, ∞.

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