अपोलोनियन गैस्केट कैसे बनाएं

एक अपोलोनियन गैस्केट एक प्रकार का है भग्न एक बड़े सर्कल के भीतर निहित कभी-कभी सिकुड़ते हुए सर्कल के संग्रह से बनाई गई छवि. अपोलोनियन गैसकेट में प्रत्येक सर्कल है स्पर्शरेखा आसन्न सर्कल के लिए - दूसरे शब्दों में, अपोलोनियन गैसकेट में मंडलियां असीमित छोटे बिंदुओं पर संपर्क करती हैं. पेर्गा के यूनानी गणितज्ञ अपोलोनियस के लिए नामित, इस प्रकार के फ्रैक्टल को जटिलता की उचित डिग्री के लिए (हाथ या कंप्यूटर द्वारा) खींचा जा सकता है, एक सुंदर, हड़ताली छवि बनाई जा सकती है. शुरू करने के लिए नीचे चरण 1 देखें.

कदम

2 का भाग 1:
प्रमुख अवधारणाओं को समझें

पूरी तरह से स्पष्ट होने के लिए, अगर आप बस में रुचि रखते हैं चित्रकारी एक अपोलोनियन गैसकेट, फ्रैक्टल के पीछे गणित सिद्धांतों का शोध करना आवश्यक नहीं है. हालांकि, अगर आप अपोलोनियन गास्केट की गहरी समझ चाहते हैं, तो उन पर चर्चा करते समय हम कई अवधारणाओं की परिभाषाओं को समझना महत्वपूर्ण है.

  1. एक अपोलोनियन गैस्केट चरण 1 शीर्षक वाली छवि
1. कुंजी शर्तों को परिभाषित करें. नीचे दिए गए निर्देशों में निम्नलिखित शर्तों का उपयोग किया जाता है:
  • अपोलोनियन गैसकेट: एक बड़े सर्कल के अंदर घोंसले की एक श्रृंखला से बना एक प्रकार के फ्रैक्टल के लिए कई नामों में से एक के लिए एक बड़े सर्कल और आसपास के सभी अन्य लोगों के लिए टेंगेंट. इन्हें भी कहा जाता है "सोडी सर्कल" या "चुंबन मंडलियां".
  • एक सर्कल का त्रिज्या: एक सर्कल के केंद्र बिंदु से दूरी के किनारे की दूरी. आमतौर पर चर को सौंपा गया आर.
  • एक सर्कल का वक्रता: त्रिज्या के सकारात्मक या नकारात्मक उलटा, या ± 1 / आर. सर्कल के बाहरी वक्रता और आंतरिक वक्रता के लिए नकारात्मक से निपटने पर वक्रता सकारात्मक होती है.
  • टेंगेंट: एक शब्द, विमानों, और आकारों पर लागू होता है जो एक असीम रूप से छोटे बिंदु पर छेड़छाड़ करते हैं. अपोलोनियन गास्केट में, यह इस तथ्य को संदर्भित करता है कि प्रत्येक सर्कल प्रत्येक पास के सर्कल को केवल एक बिंदु पर छूता है. ध्यान दें कि कोई चौराहे नहीं है - टेंगेंट आकार ओवरलैप नहीं होते हैं.
  • एक अपोलोनियन गैस्केट चरण 2 बनाएँ शीर्षक
    2. Descartes के प्रमेय को समझें.Descartes का प्रमेय एक सूत्र है जो अपोलोनियन गैसकेट में सर्कल के आकार की गणना के लिए उपयोगी है. यदि हम किसी भी तीन सर्कल के वक्रता (1 / r) को परिभाषित करते हैं ए, ख, तथा सी, क्रमशः, प्रमेय बताता है कि सर्कल का वक्रता (या हलकों) तीनों के लिए टेंगेंट, जिसे हम के रूप में परिभाषित करेंगे घ, है: डी = ए + बी + सी ± 2 (एसक्यूआरटी (ए × बी + बी × सी + सी × ए)).
  • हमारे उद्देश्यों के लिए, हम आम तौर पर केवल उस उत्तर का उपयोग करेंगे जिसे हम एक प्लस साइन डालकर स्क्वायर रूट के सामने (दूसरे शब्दों में) डाल देंगे, ... + 2 (एसक्यूआरटी (...)). अभी के लिए, यह जानना पर्याप्त है कि समीकरण के घटाव के रूप में अन्य संबंधित कार्यों में इसका उपयोग होता है.
    • 2 का भाग 2:
    अपोलोनियन गैस्केट का निर्माण

    अपोलोनियन गास्केट सिकुड़ते हुए सर्कल की सुंदर फ्रैक्टल व्यवस्था का रूप लेते हैं. गणितीय रूप से, अपोलोनियन गास्केट्स में अनंत जटिलता होती है, लेकिन, चाहे आप कंप्यूटर ड्राइंग प्रोग्राम या पारंपरिक ड्राइंग टूल्स का उपयोग कर रहे हों, आप अंततः उस बिंदु तक पहुंच जाएंगे जिस पर सर्कल को किसी भी छोटे से आकर्षित करना असंभव है. ध्यान दें कि जितना अधिक आप अपनी मंडलियों को आकर्षित करते हैं, उतना ही आप अपने गैस्केट में फिट करने में सक्षम होंगे.

    1. एक अपोलोनियन गैसकेट चरण 3 शीर्षक वाली छवि
    1. अपने डिजिटल या एनालॉग ड्राइंग टूल्स को इकट्ठा करें. नीचे दिए गए चरणों में, हम अपना खुद का सरल अपोलोनियन गैस्केट बनाएंगे. अपोलोनियन गास्केट को हाथ से या कंप्यूटर पर आकर्षित करना संभव है. किसी भी मामले में, आप पूरी तरह से गोल सर्कल खींचने में सक्षम होना चाहेंगे. यह काफी महत्वपूर्ण है. चूंकि अपोलोनियन गैसकेट में हर सर्कल पूरी तरह से सर्किलों के प्रति पूरी तरह से स्पर्श करता है, मंडलियां जो थोड़ा सा मिस्पेन भी कर सकते हैं "दूर फेंकना" आपका अंतिम उत्पाद.
    • यदि कंप्यूटर पर गैस्केट को चित्रित करते हैं, तो आपको एक ऐसे प्रोग्राम की आवश्यकता होगी जो आपको केंद्रीय बिंदु से एक निश्चित त्रिज्या के मंडलियों को आसानी से आकर्षित करने की अनुमति देता है. जीएफआईजी, मुफ्त छवि संपादन कार्यक्रम जीआईएमपी के लिए एक वेक्टर-ड्राइंग एक्सटेंशन का उपयोग किया जा सकता है, जैसा कि विभिन्न ड्राइंग प्रोग्राम की एक विस्तृत विविधता हो सकती है (प्रासंगिक लिंक के लिए सामग्री अनुभाग देखें). आपको शायद कैलकुलेटर एप्लिकेशन की आवश्यकता होगी और या तो वर्ड प्रोसेसर दस्तावेज़ या वक्रता और रेडी पर नोट्स लेने के लिए एक भौतिक नोटपैड होगा.
    • हाथ से गैसकेट को चित्रित करने के लिए, आपको एक कैलकुलेटर (वैज्ञानिक या ग्राफिंग सुझाए गए), एक पेंसिल, कंपास, शासक (अधिमानतः मिलीमीटर चिह्नों के साथ एक पैमाने, ग्राफ पेपर, और नोट लेने के लिए एक नोटपैड की आवश्यकता होगी.
  • शीर्षक वाली छवि अपोलोनियन गैस्केट चरण 4 बनाएं
    2. एक बड़े सर्कल से शुरू करें. आपका पहला कार्य आसान है - बस एक बड़ा, पूरी तरह गोल सर्कल बनाएं. सर्कल जितना बड़ा होगा, आपका गैस्केट जितना अधिक जटिल हो सकता है, इसलिए एक सर्कल को जितना बड़ा पेपर बनने की कोशिश करें या जितना बड़ा हो उतना बड़ा आप अपने ड्राइंग प्रोग्राम पर एक विंडो में आसानी से देख सकते हैं.
  • एक अपोलोनियन गैस्केट चरण 5 शीर्षक वाली छवि
    3. मूल के अंदर एक छोटा सर्कल बनाएं, एक तरफ टेंगेंट करें. इसके बाद, पहले के अंदर एक और सर्कल बनाएं जो मूल से छोटा है, लेकिन अभी भी काफी बड़ा है. दूसरे सर्कल का सटीक आकार आपके ऊपर है - कोई सही आकार नहीं है. हालांकि, हमारे उद्देश्यों के लिए, आइए हमारा दूसरा सर्कल बनाएं ताकि यह हमारे बड़े बाहरी सर्कल में बिल्कुल आधा रास्ते तक पहुंच सके. दूसरे शब्दों में, आइए हमारा दूसरा सर्कल बनाएं ताकि उसका केंद्रीय बिंदु बड़े सर्कल के त्रिज्या का मध्यबिंदु है.
  • याद रखें कि अपोलोनियन गास्केट्स में, स्पर्श करने वाले सभी मंडल एक दूसरे के लिए टेंगेंट हैं. यदि आप अपने मंडलियों को हाथ से आकर्षित करने के लिए एक कंपास का उपयोग कर रहे हैं, तो इस प्रभाव को बड़े बाहरी सर्कल के त्रिज्या के मध्य बिंदु पर कंपास के तेज बिंदु डालकर, अपनी पेंसिल को समायोजित करके ताकि यह हो केवल बड़े सर्कल के किनारे को छूता है, फिर अपने छोटे भीतरी सर्कल को चित्रित करता है.
  • एक अपोलोनियन गैस्केट चरण 6 का शीर्षक वाली छवि
    4. एक समान सर्कल बनाएं "से पार" छोटा अंदर सर्कल. अगला, आइए हमारे पहले से एक और सर्कल बनाएं. यह सर्कल बड़े बाहरी सर्कल और छोटे भीतरी सर्कल दोनों के लिए टेंगेंट होना चाहिए, जिसका अर्थ है कि आपके दो आंतरिक मंडल बड़े बाहरी सर्कल के सटीक मध्य बिंदु पर छूएंगे.
  • एक अपोलोनियन गैस्केट चरण 7 का शीर्षक वाली छवि
    5. अपने अगले मंडलियों के आकार को खोजने के लिए Descartes के प्रमेय को लागू करें. चलो एक पल के लिए ड्राइंग बंद करो. अब हमारे पास हमारे गैसकेट में तीन मंडल हैं, हम अगले सर्कल के त्रिज्या को खोजने के लिए डेस्कार्ट्स के प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं जिसे हम आकर्षित करेंगे. याद रखें कि Descartes का प्रमेय है डी = ए + बी + सी ± 2 (एसक्यूआरटी (ए × बी + बी × सी + सी × ए)), जहां ए, बी, और सी आपके तीन टैंगेंट सर्कल के वक्रता हैं और डी सभी तीनों के लिए सर्कल टेंगेंट का वक्रता है. तो, हमारे अगले सर्कल के त्रिज्या को खोजने के लिए, चलिए अब तक की प्रत्येक मंडलियों के वक्रता को ढूंढें ताकि हम अगले सर्कल के वक्रता को पा सकें, फिर इसे अपने त्रिज्या में परिवर्तित कर सकें.
  • आइए हमारे बाहरी सर्कल के त्रिज्या को परिभाषित करते हैं 1. क्योंकि अन्य मंडल इस के अंदर हैं, हम इसके साथ काम कर रहे हैं आंतरिक वक्रता (इसके बाहरी वक्रता के बजाय), और इसके परिणामस्वरूप, हम जानते हैं कि इसकी वक्रता नकारात्मक है. - 1 / आर = -1/1 = -1. बड़ा सर्कल का वक्रता है -1.
  • छोटे सर्कल `त्रिज्या बड़े सर्कल के रूप में आधे बड़े हैं, या दूसरे शब्दों में, 1/2. चूंकि ये मंडल एक दूसरे को छू रहे हैं और अपने बाहरी किनारे के साथ बड़े सर्कल को छू रहे हैं, हम उनके साथ काम कर रहे हैं बाहरी वक्रता, इसलिए उनके वक्रता सकारात्मक हैं. 1 / (1/2) = 2. छोटी सर्कल `वक्रता दोनों हैं 2.
  • अब, हम जानते हैं कि हमारे descartes के प्रमेय समीकरण के लिए एक = -1, बी = 2, और सी = 2. आइए डी के लिए हल करें:
  • डी = ए + बी + सी ± 2 (एसक्यूआरटी (ए × बी + बी × सी + सी × ए))
  • डी = -1 + 2 + 2 ± 2 (एसक्यूआरटी (-1 × 2 + 2 × 2 + 2 × -1))
  • डी = -1 + 2 + 2 ± 2 (एसक्यूआरटी (-2 + 4 + -2))
  • डी = -1 + 2 + 2 ± 0
  • डी = -1 + 2 + 2
  • डी = 3. हमारे अगले सर्कल का वक्रता है 3. 3 = 1 / आर के बाद से, हमारे अगले सर्कल का त्रिज्या है 1/3.
  • एक अपोलोनियन गैस्केट चरण 8 शीर्षक वाली छवि
    6. अपने अगले सेट सर्कल बनाएँ. आपके अगले दो मंडलियों को आकर्षित करने के लिए आपके द्वारा पाए जाने वाले त्रिज्या मूल्य का उपयोग करें. याद रखें कि ये उन मंडलियों के लिए टेंगेंट होंगे जिनके वक्रताएं आपके द्वारा उपयोग की जाने वाली वक्रताएं, बी, और सी के लिए उपयोग की जाती हैं. दूसरे शब्दों में, वे मूल और द्वितीय सर्कल दोनों के लिए टेंगेंट होंगे. इन मंडलियों के लिए सभी तीन सर्किलों के लिए स्पर्श करने के लिए, आपको अपने बड़े मूल सर्कल के अंदर क्षेत्र के ऊपरी और नीचे में खुली जगहों पर उन्हें आकर्षित करने की आवश्यकता होगी.
  • याद रखें कि ये मंडल त्रिभुज 1/3 के बराबर होंगे. बाहरी सर्कल के किनारे से 1/3 वापस मापें, फिर अपना नया सर्कल बनाएं. यह आसपास के सभी सर्कल के लिए टेंगेंट होना चाहिए.
  • एक अपोलोनियन गैस्केट चरण 9 शीर्षक वाली छवि
    7. मंडलियों को जोड़ना जारी रखने के लिए इस फैशन में आगे बढ़ें. क्योंकि वे फ्रैक्टल हैं, अपोलोनियन गास्केट असीम रूप से जटिल हैं. इसका मतलब है कि आप अपने दिल की सामग्री में छोटी और छोटी सर्कल जोड़ सकते हैं. आप ही सीमित हैं केवल आपके टूल्स की सटीकता (या, यदि आप कंप्यूटर का उपयोग कर रहे हैं, तो आपके ड्राइंग प्रोग्राम की क्षमता "ज़ूम इन"). प्रत्येक सर्कल, कोई फर्क नहीं पड़ता कि कितना छोटा, तीन अन्य मंडलियों के लिए स्पर्श करना चाहिए. अपने गैस्केट में प्रत्येक बाद के सर्कल को आकर्षित करने के लिए, तीन सर्कल के वक्रताओं को प्लग करें यह डेस्कार्टेस के प्रमेय में टेंगेंट होगा. फिर, अपने नए सर्कल को सटीक रूप से आकर्षित करने के लिए अपने उत्तर का उपयोग करें (जो आपके नए सर्कल का त्रिज्या होगा).
  • ध्यान दें कि जिस गैस्केट को हमने खींचा है वह सममित है, इसलिए एक सर्कल का त्रिज्या संबंधित सर्कल के समान है "इससे दूर". हालांकि, पता है कि हर अपोलोनियन गैसकेट सममित नहीं है.
  • आइए एक और उदाहरण से निपटें. मान लीजिए कि, मंडलियों के आखिरी सेट को चित्रित करने के बाद, अब हम उन मंडलियों को आकर्षित करना चाहते हैं जो हमारे तीसरे सेट, हमारे दूसरे सेट, और हमारे बड़े बाहरी सर्कल के लिए स्पर्शक हैं. इन सर्कल के वक्रता क्रमशः 3, 2, और -1 हैं. आइए इन नंबरों को डेस्कार्टेस के प्रमेय में प्लग करें, एक = -1, बी = 2, और सी = 3 सेट करना:
  • डी = ए + बी + सी ± 2 (एसक्यूआरटी (ए × बी + बी × सी + सी × ए))
  • डी = -1 + 2 + 3 ± 2 (एसक्यूआरटी (-1 × 2 + 2 × 3 + 3 × -1))
  • डी = -1 + 2 + 3 ± 2 (एसक्यूआरटी (-2 + 6 + -3))
  • डी = -1 + 2 + 3 ± 2 (एसक्यूआरटी (1))
  • डी = -1 + 2 + 3 ± 2
  • डी = 2, 6. हमारे पास दो जवाब हैं! हालांकि, क्योंकि हम जानते हैं कि हमारा नया सर्कल किसी भी मंडल से छोटा होगा, यह केवल एक वक्रता के लिए टेंगेंट है 6 (और इसलिए एक त्रिज्या 1/6) समझ में आता है.
  • हमारा अन्य उत्तर, 2, वास्तव में परिकल्पित सर्कल को संदर्भित करता है दूसरी ओर हमारे दूसरे और तीसरे मंडलियों के स्पर्श बिंदु. यह सर्कल है इन दोनों सर्कल और बड़े बाहरी सर्कल के लिए स्पर्शक, लेकिन यह उन मंडलियों को छेड़छाड़ करेगा जो हमने पहले ही खींचा है, इसलिए हम इसे अवहेलना कर सकते हैं.
  • एक अपोलोनियन गैस्केट चरण 10 का शीर्षक वाली छवि
    8. एक चुनौती के लिए, अपने दूसरे सर्कल के आकार को बदलकर एक गैर-सममित अपोलोनियन गैसकेट बनाने का प्रयास करें. सभी अपोलोनियन गास्केट एक ही शुरू होते हैं - एक बड़े बाहरी सर्कल के साथ जो फ्रैक्टल के किनारे के रूप में कार्य करता है. हालांकि, कोई कारण नहीं है कि आपका दूसरा सर्कल आवश्यक रूप से है पहले के 1/2 त्रिज्या के लिए - हमने बस इसे ऊपर करने का फैसला किया क्योंकि यह सरल और समझने में आसान है. मस्ती के लिए, एक अलग आकार के दूसरे सर्कल के साथ एक नया गैस्केट शुरू करने का प्रयास करें - इससे अन्वेषण के नए नए रास्ते होंगे.
  • अपना दूसरा सर्कल ड्राइंग करने के बाद (इसके आकार के बावजूद), आपका अगला कार्य एक या एक से अधिक सर्किलों को आकर्षित करना चाहिए जो इसके लिए और बड़े बाहरी सर्कल तक स्पर्शक हैं - ऐसा करने का कोई सही तरीका नहीं है, या तो. इसके बाद, आप किसी भी बाद के मंडलियों की त्रिज्या निर्धारित करने के लिए Descartes के प्रमेय का उपयोग कर सकते हैं, जैसा कि ऊपर दिखाया गया है.

    • टिप्स

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